Myślę, że zasadniczo nie zgadzam się z wieloma odpowiedziami tutaj.

Ładne liczby zdecydowanie ułatwiają problemy i mam zwyczaj ich używać, kiedy po raz pierwszy wprowadzam koncepcję; sprawiają, że uczniowie czują się bardziej komfortowo i pozwalają im skupić się na kluczowej idei, której próbuję przekazać. Ale nigdy nie polegam na dobrych liczbach w testach lub zadaniach. Są tu trzy główne powody:

1. Przez lata wielu uczniów naprawdę przestało rozumieć koncepcję, gdy przedstawiano im „brzydkie” liczby. Na przykład, miałem uczniów, którzy z łatwością potrafili znaleźć średnią 2 i 6, ale poproszeni o znalezienie średniej 2,3 i 6,7 nie wiedzą nawet, jak zacząć. Nie jest to kwestia zagubienia się w obliczeniach; chodzi o to, że inaczej myślą o „ładnych” liczbach niż o „brzydkich”. W przypadku średniej problem prawdopodobnie polegał na tym, że badany student myślał o średniej jako o „liczbie w środku”, a nie o „sumie podzielonej przez dwa”, co ma sens przy pracy z liczbami całkowitymi, ale nie inaczej. Problem polega na tym, że nie można uchwycić takich błędów w zrozumieniu bez używania brzydkich liczb, przynajmniej od czasu do czasu.
2. Nie jest studentem, a Per Alexandersson zauważył, że wielu uczniów używa testu „niezła liczba”, aby powiedzieć czy ich odpowiedź jest prawidłowa - zwykle ufają odpowiedzi, jeśli otrzymają „2”, a nie bardzo, jeśli otrzymają „2,134”. Dlatego z punktu widzenia „bądź miły dla swoich uczniów”, powinieneś używać ładnych liczb; ale chodzi o to, że dosłownie w każdej aplikacji, jaką będą mieli do tego materiału w późniejszym życiu, nie będą zajmować się problemami, które zostały starannie wyselekcjonowane, aby uzyskać ładne liczby. Jeśli uczysz ich czegoś, czego oczekujesz, że użyją później, to niedobra przysługa pozwalanie im na dalsze używanie testu „niezłej liczby”.
3. Mówiąc ogólnie, „ładnych” liczb jest znacznie mniej niż „brzydkich”. Mam uczniów, którzy „rozwiązują” problemy, zakładając, że odpowiedź będzie liczbą całkowitą, a następnie zgaduj i sprawdzaj swoją drogę do sukcesu.

To powiedziawszy, jeśli używasz brzydkich liczb, musisz poczynić pewne ustępstwa, aby to zadziałało. Oto co robię:

1. Zezwalam na naukowe (nie graficzne) kalkulatory przy każdym zadaniu i teście.
2. Pozwalam na proste odpowiedzi, z wyjątkiem sytuacji, gdy problem dotyczy uproszczenia; więc mogą zostawić swoją odpowiedź jako skomplikowany bałagan radykałów, jeśli chcą.
3. Ostrzegam ich specjalnie, że liczby związane z niektórymi problemami mogą być nieporządne, i przechodzę przez „bałagan” problemy w klasie.
4. Poświęcam trochę czasu na nauczanie technik oceniania, czy twoja odpowiedź jest poprawna, które nie polegają na uprzejmości liczby; moim ulubionym jest „ballparking”, gdzie wykorzystujesz kontekst pytania do oszacowania ogólnej wielkości odpowiedzi (czy odpowiedź jest pozytywna czy negatywna? Większa niż tysiąc? itd.).
5. Problemy, które obejmują brzydkie liczby zwykle trwają dłużej niż te, które zawierają ładne liczby - nawet ja uważam, że idę wolniej, gdy problem dotyczy dziwnych ułamków lub dziesiętnych. Weź to pod uwagę podczas pisania testów.
6. Problemy z brzydkimi liczbami są bardziej podatne na drobne błędy niż te, które dotyczą ładnych liczb; na przykład prawdopodobnie nie chcesz liczyć odpowiedzi w klasie rachunku różniczkowego jako „całkowicie błędnej”, ponieważ wpisali w swoim kalkulatorze „2,146” zamiast „2,156”. Zawsze oferuję obszerne częściowe zaliczenie na podstawie przedstawionych prac i generalnie nie zaznaczam błędów, które nie wskazują na brak zrozumienia lub zmieniają stopień trudności problemu. W przypadku testów online, aby to zadziałało, umożliwiam uczniom przesyłanie prac wraz z odpowiedziami.

Piszesz „Myślę, że mam metodę automatycznej oceny, więc nie stanowi to problemu”. Jeśli zamierzasz polegać na automatycznym ocenianiu, powinieneś używać łatwych, prostych liczb.

Są dwa sposoby uzyskania złej odpowiedzi: niepoprawne wybranie metody i popełnienie błędu podczas kopiowania z pytania do kalkulatora i od kalkulatora do arkusza odpowiedzi. Podczas ręcznego oceniania możesz je rozróżnić, wymagając od uczniów pokazania swojej pracy i wystawienia jej oceny. Automatyczne ocenianie ma tendencję do przypisywania tej samej wagi braku wiedzy, jak wykonać obliczenia i wpisaniu jednej nieprawidłowej cyfry.

Używanie prostych, łatwych do sprawdzenia liczb zmniejsza ryzyko błędu kalkulatora.

Chociaż część mnie myśli, że uczenie się pojęć powinno być takie samo dla ładnych liczb i brzydkich liczb, moje osobiste doświadczenie mówi, że istnieje różnica (być może tylko niewielka) między tymi dwoma.

Spodziewałbym się różnicy: brzydkie liczby przeszkadzają w stosowaniu i uczeniu się koncepcji. Np. Średnia (−1, 0, 1, 2, 3), (½, ⅓, ⅗) i (−1,254, 42,72). Pierwsze, co mogę zrobić w głowie, po prostu stosując pojęcie uśredniania, dodawanie jest trywialne, podział łatwy, myślę tylko o koncepcji. Dla innych nie myślę o koncepcji, myślę o ułamkach i bardziej złożonym dodawaniu / dzieleniu.

Aby ułatwić lepszą naukę i lepsze zastosowanie materiału kursu do rzeczywistego -problemy światowe, czy powinieneś także uwzględnić pracę domową z brzydkimi liczbami i odpowiedziami?

Właśnie argumentowałem, że brzydkie liczby są przeszkodą w nauce, więc lepsze są ładne liczby , imo.

A co z testami?

To samo. (Poza tym, czy uczniowie mają kalkulatory?)

Ostatecznie zależy to od tego, czego próbujesz nauczyć.

Ponieważ jest to witryna poświęcona wyższej edukacji, odpowiem w tym kontekście.

Jedyną „trudną” rzeczą dotyczącą „brzydkich” liczb jest wykonywanie konkretnych podstawowych operacji je, na przykład dodając je i tak dalej. Wszystko do tego jest zwykle wykonywane algebraicznie przy użyciu zmiennych ( x , y , z …). Studenci powinni już umieć wykonywać podstawowe działania arytmetyczne, nawet na „brzydkich” liczbach. Nigdy tego nie chcesz uczyć w szkolnictwie wyższym. Pozwól więc swoim uczniom używać kalkulatora lub używaj „ładnych” liczb w swoich danych. Jeśli obawiasz się przydatności w świecie rzeczywistym, z pewnością wiesz, że dzisiaj każdy, kto musi wykonywać tego rodzaju zadania, pracuje z komputerem, który jest o wiele bardziej zdolny do wykonywania obliczeń matematycznych niż jakikolwiek człowiek.

Jak jeśli chodzi o zadania domowe generowane komputerowo, miałem niefortunny obowiązek robienia tego zeszłej wiosny, podobnie jak wielu z nas, jak sądzę. Stworzenie „ładnych” liczb nie było szczególnie trudne, nawet gdy potrzebowałem stworzyć skomplikowane układy liniowe do rozwiązania. Zrób tak, aby twoje pytanie zależało od kilku parametrów (powiedzmy 3-5) i upewnij się, że te parametry są traktowane jako liczby całkowite w rozsądnym zakresie (na przykład [-5,5]). Wtedy, jeśli nie oszalejesz na punkcie tego, jak wyprowadzasz pytania na podstawie parametrów, otrzymasz głównie „ładne” liczby. A ponieważ zakładam, że nie odważyłbyś się zadać uczniom pytania, na które nawet nie spojrzałeś, po pobieżnym sprawdzeniu automatycznie generowanych pytań szybko dostrzegasz krytyczne przypadki.

Chcę, aby jedno pytanie na teście zawierało brzydkie liczby, ponieważ chcę, aby uczniowie nauczyli się ufać swoim obliczeniom i nie używać określenia „odpowiedź to ładna liczba” jako metody weryfikacji. Brzydkie liczby świetnie nadają się do nauczenia zaufania do metody i wiedzy. Ale w większości przypadków są po prostu irytujące.

Jakich uczniów uczysz? Jeśli uczysz uczniów szkół podstawowych lub średnich, użyj takich liczb, które są odpowiednie dla Twojego programu nauczania. Jeśli uczysz studentów inżynierii, powinieneś używać liczb ze świata rzeczywistego.

Mówisz „Podczas moich studiów inżynierskich wydawało się, że było wiele problemów, które miały dobre dane wejściowe i / lub odpowiedzi. „. Wow, jakiego rodzaju inżynierii się uczyłeś. Po połowie mojej pierwszej prawdziwej klasy inżynierskiej, prawie każdy problem, który zrobiłem, nie miał uporządkowanego rozwiązania - używaliśmy prób i błędów, aby rozwiązać prawie każdy problem (na programowalnych kalkulatorach pierwszej generacji (pomyśl o HP-25)). Liczby miały sens - wymiennik ciepła mógł mieć na przykład 100 000 BTU / h, a nie jakąś nieparzystą liczbę. Ale rury wchodzące do tego sprzętu mogą mieć 4 cale harmonogram 40 (które mają 4,026 cala średnicy wewnętrznej - zawsze miałem pod ręką broszurę z rozkładem rur, wraz ze stołami parowymi w mojej torbie). Kiedy używałem idealnej stałej gazowej R, zawsze używałem wersji z 5 cyframi znaczącymi (i mogłem grzechotać te wartości R off w 4 lub 5 różnych systemach jednostkowych - studiowałem w Kanadzie w połowie przejścia z imperialnego na metryczny) jednostek).

Podczas nauczania chcesz używać liczb, które zachęcają uczniów do myślenia i nie boją się rozwiązywania problemów, które napotkają, wykonując swój projekt projektowy dla seniorów lub kiedy otrzymają pierwszą pracę . Nie ma sensu używać liczb z dużo większą precyzją niż w prawdziwych problemach, ale oszukujesz je, jeśli sprawisz, że wszystko będzie zbyt „słodkie”, mając problemy z liczbami całkowitymi jako danymi wejściowymi, a szczególnie liczbami całkowitymi jako wyjściami.

Jeśli naprawdę chcesz rzucić im wyzwanie (i sprawić, by zrozumieli liczby, których używają), poproś ich, aby kupili lub pożyczyli suwak logarytmiczny i przeprowadź test „niedozwolone kalkulatory” (przy okazji, jeśli to zrobisz , prawdopodobnie chcesz się upewnić, że problemy są stosunkowo łatwe do rozwiązania za pomocą suwaka - dużo mnożenia i dzielenia oraz niewiele więcej).

Na teście nie chcesz, aby uczniowie zawsze byli niepewni, czy otrzymali właściwą, czy złą odpowiedź, jeśli chodzi o algebrę, więc generalnie preferowane są ładne liczby. Ponadto, jeśli chcesz je przetestować ze znajomością podstawowych metod i założysz, że mogą pracować z bardziej skomplikowanymi liczbami, bałagan w liczbach jest rozpraszający. Musisz przynajmniej dać uczniom wyobrażenie o tym, czego mogą się spodziewać. Jeśli wszystkie odpowiedzi oprócz jednej mają dobre odpowiedzi, a druga ma niechlujną odpowiedź, uczniowie, którzy otrzymają niechlujną (ale poprawną) odpowiedź, spędzą cały swój czas na podwójnym sprawdzaniu swojej algebry, podczas gdy mogli spędzać czas na innych problemy.

Jeśli chodzi o sprzęt komputerowy, myślę, że niechlujne liczby są w porządku, ale myślę, że napisanie „Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej” byłoby właściwe.

W przypadku klas niższych jednak użycie niektórych niechlujnych liczb w pewnym momencie na HW jest dobrym pomysłem. Pewnego razu podczas końcowego egzaminu z prekalkulusa studentka pomyślała, że ​​pomyliła się w znalezieniu pionowej asymptoty, ponieważ otrzymała liczbę, która nie jest liczbą całkowitą. Pozornie asymptoty pionowe mogą wystąpić tylko przy wartościach całkowitych. Cóż, ponownie spojrzała na swoją pracę i miała przebłysk wglądu, kiedy znalazła swój błąd i doszła do wniosku, że asymptota jest w rzeczywistości liczbą całkowitą.

Nie jestem nauczycielem. Jestem po prostu absolwentem matematyki pracującym w pokrewnej branży, ale moja odpowiedź byłaby trudna, nie-nie, jeśli chodzi o ładne liczby. Niektóre odpowiedzi twierdzą, że uczniowie używają intuicji, aby wiedzieć, czy wynik jest prawidłowy. Nie ma absolutnie żadnego scenariusza, w którym intuicja jest dobrą weryfikacją uzyskanego wyniku (nie mówiąc, że jest to bezużyteczne przy wyborze właściwej metody obliczania). Absolutnie nie chcesz uczyć uczniów, aby polegali na dobrym wyniku. Inna odpowiedź wspomina, że ​​korzystanie z nich eliminuje konieczność weryfikacji ich obliczeń. To absolutnie kluczowy krok, zawsze powinieneś przynajmniej raz zweryfikować swoje obliczenia. Jest to proces, który nigdy nie ma żadnych wad. W przeciwnym razie możesz usłyszeć wiadomości typu „upadek budynku zabił 50 osób, ponieważ inżynier miejski popełnił błąd, ale numer wyglądał ładnie, więc nie sprawdzał ponownie”.

EDYCJA: Właściwie częściej sprawdzałem swoje obliczenia, gdy wynik był rzeczywiście ładny. Gdyby tak nie było, założyłem, że zastosowałem najlepszą metodę, o której mogłem pomyśleć, a najgorsze, co mogło się zdarzyć, to utrata punktu za zły wynik. Na szczęście większość profesorów i nauczycieli oceniała metodę, a nie wynik.

EDYCJA 2: Chcesz nauczyć uczniów myślenia o rozwiązaniu, a nie o tym, jak grać w system. Ci sami uczniowie mogą nauczyć się później szukać luk prawnych, aby dostarczyć w połowie ukończony i czasami niebezpieczny produkt, zamiast robić to, czego się spodziewano (zobacz skandal dieselgate, po co pracować nad rozwiązaniem, skoro można po prostu wyegrać wynik).

Mam zwyczaj dawać przeważnie niezłą liczbę zadań i testów. Ponieważ „w większości niezła” liczba to na przykład Sqrt [2] lub Log [6] lub e ^ 7. W ten sposób uczniowie mogą udzielić odpowiedzi w dokładnej formie (bez liczby zmiennoprzecinkowej) bez większych trudności.

Trzymałbym się z daleka od rzeczy takich jak Sqrt [1 + Sqrt [2]] $, które uważam za naprawdę brzydkie. Studenci o tym wiedzą, więc jeśli otrzymają odpowiedź taką jak Sqrt [21/213], podejrzewają, że prawdopodobnie jest jakiś błąd w ich obliczeniach.

Teraz mam również pytania dotyczące niektórych zadań, które są całkowicie numeryczne (bd niektóre rozwiązania niektórych nieliniowych równań różniczkowych). Nawet w takich przypadkach spróbuję znaleźć „ładne” warunki brzegowe, aby uczniowie mogli sprawdzić, czy ich intuicja pasuje do wyników liczbowych.

Korzystanie z brzydkich liczb ma pedagogiczną przewagę: użytkownicy będą próbować ich unikać i uczyć się algebry, wpisując symbole zamiast konkretnych liczb całkowitych, ułamków lub rozwinięć dziesiętnych. Chodzi o to, aby przed podłączeniem rzeczywistych liczb uprościć wyrażenie tak bardzo, jak tylko możesz.

Więc to naprawdę zależy od tego, czego próbujesz nauczyć.

Przy okazji , to, co nazywasz „prawdziwą” liczbą, jest określane jako „dziesiętne liczby niecałkowite”, co jest dość brzydką nazwą, ponieważ -1, 0, 1/2 lub 1 to także liczby rzeczywiste.

Zasugerowano, że powinienem zamienić swój komentarz w odpowiedź.

• Używaj „brzydkich” liczb na całej stronie zadań.
• Weź wszystkie wyniki i dodaj jeszcze kilka „brzydkich” liczb jako dystraktorów. Wypisz je na dole arkusza.

Oznacza to, że uczniowie będą ćwiczyć pracę z „brzydkimi” liczbami. Mogą łatwo sprawdzić, czy nie wystąpił żaden błąd arytmetyczny, znajdując wynik na liście, ale zgadywanie nie daje oceny pozytywnej. Jeśli liczby nie ma na liście, pierwszym krokiem jest sprawdzenie, czy źle wpisali w swoim kalkulatorze lub nie otrzymali błędnych sum.

Chyba że celem zadania domowego jest sprawdzenie ich umiejętności wykonywania podstawowych działań arytmetycznych, dlaczego nie podawać zmiennych zamiast liczb, a odpowiedź powinna być wyrażeniem w postaci tych zmiennych.

od tego do odpowiedzi numerycznej są tylko proste, ale żmudne obliczenia arytmetyczne.

Używanie ładniejszych liczb pozwala na płynniejsze obliczenia w testach. Myślę, że jest to ogólnie dobra rzecz.

Jednak czasami zdarzają się sytuacje, w których wyraźnie chcesz nauczyć podstaw obliczeń symbolicznych, gdzie na przykład liczby wymierne, takie jak 1/3, zapewniają, że zadania nie można rozwiązać numerycznie bez wiodącej precyzji. Czasami w przypadku pytań trygonometrycznych mogą polegać na fakcie, że wyniki pośrednie są wyrażane w ułamkach pi.

Jeden z przykładów wspomniał, że pytając o średnią liczb, 2,3 i 6,7 lepiej sprawdzą zrozumienie niż niezłe liczby. Jednak twierdziłbym, że są to w rzeczywistości ładne liczby, ponieważ dodają się do okrągłej liczby i można je łatwo podzielić przez 2, więc wynikiem jest wyraźne 4,5 bez potrzeby korzystania z kalkulatora i ryzyka zaokrąglenia.