Pytanie:
Niedopuszczalne twierdzenia w badaniach
BCLC
2018-08-29 19:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jeden z moich przyjaciół inżynierów opowiedział mi, jak kiedyś musiał podchodzić do rachunku różniczkowego, który sprawdzam z powodu hospitalizacji i samodzielnej nauki wielu pominiętych tematów. Do egzaminu z makijażu posłużył się regułą L'Hôpital, chociaż uczono nas tego dopiero 1 lub 2 egzaminy później. Mój przyjaciel powiedział mi, że profesor napisał

„Nie możesz jeszcze używać reguły L'Hôpitala”.

Tak więc lubię to powiedzieć Reguła L'Hôpital była niedopuszczalna na tym egzaminie.

Absolutnie ma sens, jeśli jesteś studentem że nie wolno ci używać zdań, twierdzeń itp. z przyszłych tematów, tym bardziej na przyszłych zajęciach, a zwłaszcza na czymś tak podstawowym, jak rachunek różniczkowy I. Ma to również sens, aby dostosować się do kierunków studiów: z pewnością kierunki matematyczne nie powinny być wolno używać tematów z matematyki dyskretnej lub algebry liniowej, aby mieć przewagę nad ich biznesem, naukami o środowisku lub inżynierią (którzy podejmują algebrę liniową później niż kierunki matematyczne na mojej uczelni) kolegami z klasy I lub II.

Ale po studiach licencjackich, magisterskich i doktoranckich z matematyki jesteś badaczem , a nie tylko studentem: Powiedz, robisz doktorat z matematyki rozprawa lub nawet po tobie ukończyłeś doktorat.

Czy w badaniach matematycznych jest coś niedopuszczalnego?”

Nie wyobrażam sobie, że masz coś do udowodnić, a następnie znajdujesz papier, który pomaga ci coś udowodnić, a następnie udajesz się do swojego doradcy, który następnie powie ci: „Nie możesz jeszcze używać twierdzenia Poincarégo” lub czegoś, co udowodniono więcej 12 lat temu: „Nie wolno ci jeszcze używać wzoru różniczkowania Cauchy'ego”.

A właściwie co z zewnętrzną matematyką, powiedzmy, fizyką czy informatyką?

Powiedziałbym, że z racji pobytu w szpitalu zasada L'Hopital powinna być uczciwą grą.
Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji;ta rozmowa została [przeniesiona do czatu] (https://chat.stackexchange.com/rooms/82520/discussion-on-question-by-bclc-inadmiable-theorems-in-research).Prosimy nie zamieszczać odpowiedzi w komentarzach.Jeśli chcesz omówić praktykę blokowania reguły L'Hôpital w sytuacji egzaminacyjnej, weź ją na czat.Przeczytaj [to FAQ] (https://academia.meta.stackexchange.com/q/4230) przed opublikowaniem kolejnego komentarza.
Szesnaście odpowiedzi:
#1
+114
Federico Poloni
2018-08-29 22:31:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Czy badania matematyczne mają coś niedopuszczalnego?

Nie, ale próba udowodnienia X bez użycia Y jest nadal bardzo użyteczną koncepcją, nawet w badaniach , ponieważ może prowadzić do interesujących uogólnień lub nowych technik dowodowych, które można zastosować do większego zbioru problemów.

Na przykład, w pewnym sensie całka Lebesgue'a „tylko” próbuje udowodnić własności całek bez używania ciągłości f , albo teoria matroidów jest „tylko” próbując udowodnić właściwości liniowo niezależnych wektorów bez używania wielu właściwości ze struktury przestrzeni wektorowej.

Więc to nie jest bezcelowe ćwiczenie, jeśli o to chodziło.

To doskonała odpowiedź.Istnieje bardzo szerokie zjawisko, które można sparafrazować jako „ograniczenie rodzi kreatywność”.Na przykład.jest powód, dla którego ludzie piszą haiki od ponad ośmiuset lat.Ale jedną z esencji „twórczych ograniczeń” jest to, że są one w dużej mierze * narzucone * przez samego siebie.
@PeteL.Clark och jak potrzeba jest matką wynalazku?Dzięki PeteL.Clark i Federico Poloni!
Do Federico Poloniego Cc @PeteL.Clark, czym różni się odpowiedź od dżdżownicy, poza przykładami teoretycznymi?
Dlaczego cytaty wokół „jest”?
@KonradRudolph Ponieważ twierdzenie, że całka Lebesgue'a jest po prostu teorią integracji bez ciągłości, jest redukcyjne.Analityk może sprzeciwić się, że to coś więcej.
@FedericoPoloni Nie znam tego użycia interpunkcji i nie sądzę, aby było to powszechnie rozumiane.Myślę, że prawdopodobnie chcesz napisać „całka Lebesgue'a jest„ tylko ”próbą udowodnienia…”, co używa bardziej konwencjonalnej interpunkcji i gramatyki, aby wyrazić to, co myślę, że próbujesz wyrazić.
@KonradRudolph Jasne, nie ma problemu.Zapraszam do edycji.
@KonradRudolph FWIW, myślę, że oryginał był w porządku, chociaż nie mam silnych preferencji.(Native speaker angielski)
doskonała odpowiedź.Jednak w przypadku tego pytania powiedziałbym, że zadanie egzaminacyjne wymaga wyraźnego określenia wszelkich takich ograniczeń.Na przykład.mieliśmy zasady egzaminacyjne w stylu „możesz bezpośrednio użyć wszystkiego z tej listy, wszystko, czego potrzebujesz, musi zostać wyprowadzone, zaczynając od tej listy”.IMHO, należy przypomnieć studentom o takich zasadach, nawet jeśli zostały one określone wcześniej na początku wykładu.(Uważam, że nie robię tego jako jedną z form tych złych pytań egzaminacyjnych, w których studenci mogą uzyskać pełne punkty tylko po prawidłowym odgadnięciu, do jakiej koncepcji dąży wykładowca)
Ważna uwaga: uważam, że istnieje bardzo istotna różnica między dowodzeniem wyników przy użyciu mniejszej liczby hipotez lub aksjomatów, a „udawaniem”, że nie znam twierdzeń, które są konsekwencjami przyjętych hipotez.Zakaz l'Hopital, zakładając silniejsze wyniki, takie jak wartość średnia i twierdzenie o wyciskaniu, jest zarówno źle zdefiniowany (pierwszy lemat mojego rozwiązania może być po prostu dowodem na l'Hopital), jak i wątpliwą korzyść.
@PeteL.Clark Jest nawet o tym [odpowiedni XKCD] (https://xkcd.com/1045/).
Wzięłam kurs oparty na dowodach z historii matematyki.Spędziliśmy dużo czasu szukając dowodów na rzeczy, które można łatwo osiągnąć za pomocą nowoczesnego rachunku różniczkowego i trygonometrii, gdy wszystkie rachunki i trygonometria zostały zakazane.
@NicHartley Potrzeba matką wynalazku?
#2
+45
jakebeal
2018-08-29 19:38:37 UTC
view on stackexchange narkive permalink

W sensie, o który pytasz, nie mogę sobie wyobrazić, by kiedykolwiek istniała metoda uznana za niedopuszczalną, ponieważ badacz „nie jest na to gotowy”. Każde podejście intelektualne jest potencjalnie uczciwą grą.

Jeśli konkretnym celem pracy jest znalezienie alternatywnego podejścia do ustalenia czegoś, może się zdarzyć, że jedna lub więcej wcześniejszych metod zostanie wykluczonych z zakres, ponieważ zakładałby wynik, który chcesz ustalić inną niezależną ścieżką. Na przykład stała e została wyprowadzona na wiele sposobów.

Wreszcie, gdy wyjdziesz poza czystą teorię i wejdziesz w pracę eksperymentalną, należy również wziąć pod uwagę etykę eksperymentu metoda. Wiele potencjalnych podejść uważa się za niedopuszczalne ze względu na budzący zastrzeżenia charakter eksperymentu. W skrajnych przypadkach takie nazistowskie eksperymenty medyczne, nawet odwołujące się do wcześniejszej pracy, mogą zostać uznane za niedopuszczalne.

Ach, masz na myśli to, że jeśli chcesz, powiedzmy, udowodnić [probabilistycznie wzór na inwersję Fouriera] (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715218302153), chciałbyś uniknąć wszystkiego, co brzmi jakjuż wiesz, że jest dowodem (dowodami) wzoru na inwersję Fouriera, ponieważ oznaczałoby to porażkę wymyślenia innego dowodu?Lub coś w rodzaju [moje pytanie tutaj] (https://math.stackexchange.com/questions/2895930/prove-cyclic-subgroup-has-n-distinct-elements-langle-x-rangle-1-x-x2/2895931# comment5981035_2895930)?Dzięki jakebeal!
Re outside of pure: OK teraz, z perspektywy czasu wydaje się to dość oczywiste (tj. Głupie pytanie dla poza czystością).Myślę, że jest to znacznie mniej oczywiste dla czystego
#3
+32
BlindKungFuMaster
2018-08-30 16:19:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Warto zaznaczyć, że twierdzenia są zwykle niedopuszczalne, jeśli prowadzą do dowodzenia twierdzenia cyklicznego . Jeśli studiujesz matematykę, dowiesz się, w jaki sposób teorie matematyczne są zbudowane lematem za pomocą lematu i twierdzeniem za pomocą twierdzenia. Te twierdzenia i ich zależności tworzą skierowany graf acykliczny (DAG).

Jeśli zostaniesz poproszony o odtworzenie dowodu pewnego twierdzenia i użyjesz "późniejszego" wyniku, ten wynik zwykle zależy od twierdzenia, które masz udowodnić, więc używanie go jest niedopuszczalne nie tylko w celach edukacyjnych z powodów, w rzeczywistości prowadziłoby to do błędnego dowodu w kontekście DAG.

W tym sensie w badaniach nie może być żadnych niedopuszczalnych twierdzeń, ponieważ badania zwykle polegają na dowodzeniu „najnowszych” twierdzeń. Jeśli jednak opublikujesz krótszy, bardziej elegancki lub piękniejszy dowód znanego wyniku, być może będziesz musiał ponownie szukać niedopuszczalnych twierdzeń.

+1 za wyraźne poruszenie tego, co wydaje się być tylko dorozumiane lub wspomniane w komentarzach do innych odpowiedzi.Mam mgliste wspomnienie zaliczenia czyjegoś wszechstronnego egzaminu magisterskiego w Kanadzie, gdzie prostota algebry macierzy n-po-n (niosących znaki nie do pominięcia) została udowodniona przez odwołanie się do twierdzenia o strukturze Wedderburna ...
To * właściwa * odpowiedź na mój umysł.Byłoby to wzmocnione przez wyjaśnienie, co to ma wspólnego z l'Hopital, jak w komentarzu Nate'a Eldridge'a.Ale co oznacza DAG?
@NoahSnyder: DAG bez wątpienia oznacza [skierowany graf acykliczny] (https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph).
@JW: Dzięki!Spodziewałem się, że będzie to termin techniczny z pedagogiki lub filozofii nauki, a nie z matematyki.
Acykliczne fragmenty DAG są prawdopodobnie sformułowane nieco niedbale.Wystarczająco często zdarza się, że twierdzenia A i B są istotnymi równoważnikami, tak że można dowieść A z B i odwrotnie.To tworzy oczywisty cykl, ale to nie ma znaczenia.Istnieją więc co najmniej dwa podgrafy acykliczne, które łączą twierdzenie, aby udowodnić, i jego aksjomaty - aksjomaty będące pierwiastkami grafu.IOW, chociaż jakikolwiek konkretny dowód jest acykliczny, ich połączenie nie jest.
W Philosophy of Science przypuszczam, że to pojęcie uzasadnia oskarżenia o okrężne rozumowanie, czasem dokonywane z zamiarem wytworzenia * Zmiany paradygmatu *.Czy istnieje „reguła taka a taka”, aby uchwycić tę zasadę (tj. Dowodzenie twierdzenia kołowego nie jest początkiem)?
Być może bardzo częstym przykładem takiej cykliczności (i szczególnie istotnej dla kontekstu PO) jest obliczenie $ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x $ przy użyciu l'Hôpital, podczas być może obliczania tego limitu "ręcznie„w pierwszej kolejności mogło być ważne znalezienie pochodnej sinusa ...
@elliotsvensson: Prawdopodobnie powinienem wskazać Ci https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility, ale słowo _axiom_ jest już tutaj ważnym pojęciem.Rozumowanie cykliczne z definicji nie udowadnia twierdzenia z postulowanych aksjomatów, ponieważ tylko dowodzi, że twierdzenie jest prawdziwe, jeśli jest prawdziwe, i fałszywe, jeśli jest fałszywe.
@MSalters: Twierdzenia tworzą acykliczny graf.Jeśli udowodnisz równoważność, pomiędzy twierdzeniem 1 a twierdzeniem 2 dowodzisz th2 używając już udowodnionego th1.Ale kiedy używasz th2 do „udowodnienia” th1, tak naprawdę nie udowadniasz th1.Nie możesz udowodnić th1 z th2, ponieważ użyłeś th1 do udowodnienia th2.Zamiast tego udowadniasz "th2 -> th1".To jest różnica i raczej fakt, że mamy tendencję do tuszowania tych subtelnych różnic, jest trochę nieostrożny.(Chociaż oczywiście sformułowanie mojej odpowiedzi można poprawić na wiele sposobów)
@BlindKungFuMaster: Chodzi mi o to, że kiedy można udowodnić zarówno th1, jak i th2 z aksjomatów a1 i a2, nie jest dziwne, że th1 można alternatywnie udowodnić z th2, a także th2 z th1.Błąd polega na założeniu, że możliwy jest tylko jeden dowód.
@MSalters: Oczywiście możliwe są różne dowody.Ale kiedy budujesz teorię matematyczną w kontekście wykładu, raz dowodzisz twierdzeń.Dalsze dowody nie potwierdzają twierdzenia.Dowodzą równoważności lub implikacji.
#4
+30
Tobias Kildetoft
2018-08-29 20:05:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Chociaż rzeczywiście nie ma niedopuszczalnych twierdzeń w badaniach, są pewne rzeczy, których czasami próbuje się uniknąć.

Przychodzą mi na myśl dwa przykłady:

Pierwszy to klasyfikacja skończone proste grupy. Sama klasyfikacja nie jest szczególnie skomplikowana, ale dowód jest absurdalny. To sprawia, że ​​matematycy pracujący w teorii grup wolą unikać jej używania, gdy jest to możliwe. W rzeczywistości dość często jest to wyraźnie wskazywane w artykule, jeśli opiera się na nim kluczowy wynik.

Powodem tej preferencji był prawdopodobnie do pewnego stopnia pierwotnie to, że dowód był zbyt skomplikowany, aby ludzie mogli mieć pełne zaufanie w, ale mam wrażenie, że tak już nie jest, a preferencja wynika teraz z faktu, że opieranie się na klasyfikacji sprawia, że ​​„prawdziwy powód” prawdziwości wyniku jest mniej przejrzysty, a zatem jest mniej prawdopodobne, że doprowadzi do dalszych wgląd.


Innym przykładem jest ogromny wysiłek włożony w udowodnienie tak zwanej hipotezy Kazhdana-Lusztiga przy użyciu czysto algebraicznych metod.

Sam wynik jest algebraiczny z natury, ale oryginalny dowód wykorzystuje wiele bardzo głębokich wyników geometrii, co uniemożliwiło użycie go jako odskoczni do ustawień, które nie pozwalają na tę geometryczną strukturę.


Taka dowód algebraiczny został osiągnięty w 2012 roku przez Eliasa i Williamsona, kiedy udowodnili hipotezę Soergela, która ma K przypuszczenie Azhdana-Lusztiga jako jedna z kilku konsekwencji.

Techniki użyte w tym dowodzie pozwoliły na takie uogólnienia, na jakie liczyliśmy, prowadząc najpierw do obalenia hipotezy Lusztiga w 2013 r. (charakterystyczny odpowiednik $ p $ przypuszczenie Kazhdan-Lusztig), a następnie do dowodu zastąpienia hipotezy Lusztiga w 2015 (dla typu $ A $) i 2017 (ogólnie), przynajmniej przy łagodnych założeniach co do charakterystyki.

Czy Elias i Williamson nie oparli hipotezy KL na algebraicznej podstawie, czy też źle pamiętam rzeczy?
@darijgrinberg Rzeczywiście.Właściwie chciałem to dodać, ale zapomniałem o tym podczas pisania.Dodałem kilka szczegółów na ten temat.
#5
+17
GEdgar
2018-08-29 21:55:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Są przypadki, w których badacz ogranicza się do niestosowania pewnych twierdzeń. Przykład:

Atle Selberg, "Elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych". Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305-313.

Autor ogranicza się do używania tylko „elementarnego” (w sens techniczny) metody.

Inne przypadki mogą być dowodami w geometrii przy użyciu tylko linii prostej i kompasów. Gauss wykazał, że zwykły 257-grad można skonstruować z linią prostą i kompasami. Nie uważałbym tego za „nowy dowód znanego wyniku”.

Tak samo jak kajaki?
Ten przypadek jest inny, ponieważ badacze zamierzają pokazać nowy dowód dla znanego twierdzenia, ale jest on prostszy (lub bardziej elegancki) niż znane dowody.W matematyce istnieje pewien konsensus, że prostsze dowody są lepsze (z wielu powodów, na przykład, łatwiej je sprawdzić i zwykle zależą od słabszych wyników), więc elementarny dowód jest oryginalnym wynikiem badań, nawet jeśli jestdowód „tego samego typu” jak istniejące (np. prostszy dowód algebraiczny, gdy znany jest już inny dowód algebraiczny).
@HilderVitorLimaPereira, jeśli mogę trochę podejrzeć, elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych jest uważany przez większość ludzi, którzy go badali, za ani prostszy, ani bardziej elegancki niż analityczna rodzina dowodów.Jest jednak bardziej „elementarny” (w szczególności nie wykorzystuje analizy złożonej ani analizy Fouriera), co jest również bardzo ważną i interesującą cechą.Z pewnością jego odkrycie było ważnym wynikiem badań, więc w tym sensie jest to dobry i ważny punkt.
@DanRomik widzę.Tak, kiedy powiedziałem „słabsze wyniki”, tak naprawdę myślałem o bardziej elementarnych wynikach w tym sensie, że używają one teorii, które nie są zależne od głębokiej sekwencji konstrukcji i innych twierdzeń lub które są uważane za podstawową wiedzę w społeczności matematycznej.Dziękuję za ten komentarz.
@HilderVitorLimaPereira może tę myśl można by nazwać „słabszymi roszczeniami”?
#6
+11
Tommi
2018-08-29 20:36:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Taki błąd, jaki popełnił twój przyjaciel, nie polegał na użyciu l'Hôpital, ale na braku dowodu, że jest on poprawny. Gdyby określił l'Hôpital jako lemat i dostarczył wystarczająco elementarnego dowodu, to prawdopodobnie wykładowca nie miałby problemu z rozwiązaniem.

Analogiczne zjawisko zachodzi w matematyce badawczej. Istnieje wiele wyników folklorystycznych, w przypadku których badacze są prawie pewni, że wynik jest prawdziwy, a techniki ich udowodnienia są znane, ale nikt nie napisał tego dowodu ani przynajmniej go nie opublikował. Można je znaleźć na przykład w klasycznej teorii regularności dla równań różniczkowych cząstkowych.

Czy należy udokumentować taki wynik, używając go jako narzędzia? Czasami ludzie po prostu odnoszą się do wyniku, nie mówiąc o tym wprost. Czasami udowadniają to „bo nie możemy znaleźć dowodu w literaturze”, nawet jeśli dowód jest prosty lub nie na temat danego artykułu. W takich przypadkach nie ma absolutnie właściwego rozwiązania.

Uważam, że wyniki folkloru są tak bliskie „niedopuszczalności”, jak w matematyce badawczej; należy na nie uważać, czasem je udowodnić, ale czasami używa się ich również bez dowodu.

Znalazłem tylko 3 przypadki stwierdzenia „nie mogę znaleźć dowodu w literaturze” w Google.Oto [jeden] (http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~takumiy/papers/Ozawa-Yokota.pdf).Czy to rzeczywiście bardziej powszechne?(być może w artykułach, które nie należą do domeny publicznej)
Twój pierwszy akapit ma sens, jeśli uczeń pisze pracę domową, ale wydaje się, że trochę za dużo jak na egzamin.Ale wydaje się, że nie odpowiadasz na główne pytanie.Czy cokolwiek jest niedozwolone w badaniach.Zakładając, że wiadomo, że to prawda.
Przykładowa fraza: „Dowód jest całkowicie standardowy i zwykle jest podawany dla przypadek K = R [30].Pokazujemy, że ten sam dowód działa dla K = C ". Frazy prawdopodobnie nie będą jednolite. Nie mogę powiedzieć, jak często to się dzieje, ale zdarza się.
Wyniki @Buffy Folklore są, moim zdaniem, podobne, jak starałem się wyrazić w tej odpowiedzi.Wydaje mi się, że ich użycie może być dopuszczalne lub nie, w zależności od recenzentów.
@Buffy Pierwszy akapit to wprowadzenie do odpowiedzi, którą jest folklor.Racja, Tommi Brander?
@Buffy W nowym ostatnim akapicie starałem się uściślić mój punkt widzenia.
Cóż, oczywiście, jeśli coś nie zostało udowodnione, nie powinno się tego używać.Ale tak naprawdę to nie „matematyka” jest niedozwolona, ale „pseudo-matematyka”, jak sądzę.Nie sądzę, że to w ogóle to samo.
@Buffy Możesz nie zgodzić się z odpowiedzią, w takim przypadku uważam, że głosowanie w dół jest właściwym działaniem.
Właściwie rzadko głosuję przeciw, chyba że pytanie lub odpowiedź sugerują czynienie zła.Tak nie jest w tym przypadku.Nie wymagam odpowiedzi, aby były optymalne, ani nawet, że się zgadzam.Ale jeśli chcesz głosować przeciw, zasugeruj coś naprawdę złego.Moje komentarze to jednak tylko sugestie, aby rozważyć dodatkowe rzeczy i alternatywy.Przy okazji, zwykle wyjaśniam głosy przeciwne komentarzem, jako uprzejmość.Robię wyjątek tylko dla naprawdę naprawdę złych: na przykład dosłowne bicie studentów (psychicznie lub fizycznie).
Właściwie to, co myślę, robię tutaj, jest po prostu tym, co robię ze studentami.Zamiast oznaczać odpowiedź jako „błędną”, zasugeruję uczniowi, aby przyjrzał się problemowi głębiej i pełniej.Oczywiście łatwiej to zrobić na papierach niż egzaminach.
@BCLC: Występuje częściej niż myślisz.Aby zobaczyć tylko jeden przykład wyrażenia, zobacz ["to folklor, który" w Google Scholar] (https://scholar.google.co.uk/scholar?q=mathematics+ "to + jest + folklor + to").
Tommi Brander, w odsyłaczu do @user21820, to [pierwsza praca autorstwa Terry'ego Tao] (https://msp.org/apde/2009/2-3/p04.xhtml) związana z „klasyczną teorią regularności dlaRównania różniczkowe cząstkowe' ?
@BCLC Uhhh ... tak myślę?To nie jest dokładny schemat klasyfikacji.Dlaczego pytasz?
@TommiBrander dobrze papier wygląda na dobry przykład twojego przykładu
Czy masz przykłady na wspomniany folklor prawidłowości?
#7
+10
Jessica B
2018-08-29 20:12:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Być może warto zauważyć, że niektóre wyniki są w pewnym sensie niedopuszczalne, ponieważ w rzeczywistości nie są twierdzeniami. Niektóre przypuszczenia / aksjomaty są tak centralne, że są szeroko stosowane, mimo że nie zostały jeszcze ustalone. Dowody, na których się opieramy, powinny jasno to wyjaśniać w hipotezach. Jednak nie byłoby tak trudno mieć zły dzień i zapomnieć, że coś, czego często używasz, nie zostało jeszcze udowodnione lub jest potrzebne do późniejszego wyniku, którego chcesz użyć.

Być może Poincare był złym przykładem, ponieważ było to przypuszczenie z wysoką nagrodą od dłuższego czasu, ale udawajmy, że użyłem czegoś, co zostało udowodnione od dziesięcioleci.Twoja odpowiedź brzmi teraz ...?
Istnieje (niestety ...) całe spektrum między „jednoznacznym twierdzeniem” a „domniemaniem” w kombinatoryce i geometrii, z powodu rygorystycznych metod, które pozostają w tyle za rodzajem argumentów, których faktycznie używają badacze.
@BCLC W rzeczywistości hipoteza Poincare'a była szeroko „używana” przed jej udowodnieniem.Powstałe twierdzenia zawierają hipotezę „bez fałszywych 3-piłek”.Ale znam również artykuł udowadniający topologiczny wynik przy użyciu uogólnionej hipotezy kontinuum.
@darijgrinberg Nie zgadzam się z twoim stwierdzeniem.Jeśli coś uważa się za prawdziwe, bez względu na poziom pewności, ale nie jest to twierdzenie „jednoznaczne” (tj. „Twierdzenie”), to jest to przypuszczenie, a nie „gdzieś na spektrum między jednoznacznym twierdzeniem a przypuszczeniem”.Wzywam was, abyście pokazali mi czysto matematyczny artykuł, opublikowany w wiarygodnym czasopiśmie, który używa innej terminologii.Jestem prawie pewien, że rozumiem, do czego zmierzasz, ale inni prawdopodobnie tego nie zrobią, a użycie przez ciebie przymiotnika takiego jak „jednoznaczny” obok „twierdzenia” może siać zamieszanie i skłonić niektórych do myślenia..
... (niepoprawnie), że istnieje coś takiego jak „niejednoznaczne” twierdzenia.
@DanRomik: Myślę, że byłem niejednoznaczny.Oczywiście te rzeczy są przedstawiane jako twierdzenia w artykułach, w których są publikowane. Ale kiedy zaczynasz o nie pytać ludzi, zaczynasz słyszeć eehmy i uuhms.Nie sądzę, aby problem był skoncentrowany na niektórych autorach - raczej jest on [specyficzny dla pewnych rodzajów kombinatoryki] (https://mathoverflow.net/questions/309191) i tych samych ludzi, którzy piszą bardzo wyraźnie o (powiedzmy)algebra stają się niejasne i mętne, gdy potrzebują właściwości RSK lub Hillmana-Grassla ...
@darijgrinberg ok, teraz lepiej rozumiem, co miałeś na myśli, dzięki za wyjaśnienie.I ciekawe pytanie MO!
#8
+8
epa095
2018-08-30 01:26:03 UTC
view on stackexchange narkive permalink

W logice intuicjonistycznej i matematyce konstruktywnej staramy się udowadniać rzeczy bez prawa wykluczonego środka, które wyklucza wiele zwykłych narzędzi używanych w matematyce. W logice generalnie często próbujemy udowadniać rzeczy używając tylko określonego zestawu aksjomatów, co często oznacza, że ​​nie wolno nam kierować się naszymi „normalnymi” intuicjami. Zwłaszcza gdy udowadnia się coś w wielu systemach aksjomatycznych o różnej sile, można dojść do wniosku, że jakieś narzędzie stanie się dostępne dopiero pod koniec (systemy o większej mocy) i jako takie jest niedopuszczalne w słabszych systemach.

To świetna rzecz, ale nie to samo, co zamknięcie części matematyki przed tobą przez doradcę, chyba że oboje pracujesz w tej przestrzeni.Aksjomat wyboru jest kolejnym przykładem, który bada dowód w ograniczonej przestrzeni.Kiedyś pracowałem w systemach z niewielkim zestawem aksjomatów, w których więcej może być prawdą, ale mniej można udowodnić.Zabawa.
W tym samym duchu, praca w [odwróconej matematyce] (https://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_mathematics) zwykle wymaga udowodnienia swoich argumentów na podstawie raczej słabych systemów aksjomatów, co prowadzi do wszelkiego rodzaju komplikacji, które niebyć obecny przy użyciu standardowych zestawów założeń.
#9
+6
Buffy
2018-08-29 19:34:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Odpowiadając na główne pytanie, nie . Nic nie jest zabronione. Każdy doradca pozwoliłby (a przynajmniej powinien) zezwolić na jakąkolwiek poprawną matematykę. W matematyce nie ma niczego, co jest zabronione, zwłaszcza w badaniach doktoranckich. Oczywiście oznacza to akceptację (teraz rozstrzygniętą) twierdzenia Poincarégo. Przed akceptacją dowodu nie można było na nim polegać.

W rzeczywistości możesz nawet napisać rozprawę opartą na hipotetyce (jeśli duże twierdzenie prof. Buffy'ego jest prawdziwe, to z tego wynika ...). Możesz zbadać konsekwencje rzeczy, które nie zostały udowodnione. Czasami pomaga to powiązać je ze znanymi wynikami, prowadząc do dowodu „dużego twierdzenia”, a czasami pomaga prowadzić do sprzeczności, pokazując, że jest fałszywe.


Jednak przedstawiłeś informacje na temat tego, co jest właściwe w nauczaniu i egzaminowaniu uczniów. Wątpię w mądrość pierwszego profesora, który nie dopuszcza niczego, co wie student. Wydaje się to krótkowzroczne i zamienia profesora w bramę, przez którą przepływa tylko kilka rzeczy.

Oczywiście, jeśli profesor chce przetestować ucznia z określonej techniki, może spróbować znaleźć pytania, które to robią, ale wskazuje to również na podstawową głupotę egzaminów w ogóle. Istnieją inne sposoby, aby upewnić się, że uczeń nauczy się podstawowych technik.

W edukacji uniwersyteckiej nie chodzi o rywalizację z innymi studentami i (horror) problem nieuczciwej przewagi. chodzi o naukę. Jeśli profesor lub system oceniają uczniów w sposób konkurencyjny, to źle wykonują oni pracę.

Jeśli masz 20 absolutnie najlepszych uczniów na świecie i oceniasz wyłącznie na zasadach konkursowych, połowa z nich będzie poniżej średniej.

Wydaje mi się, że źle zrozumiałeś pytanie.
W jaki sposób proszę @JessicaB?
@Buffy: W rzeczywistości pytanie nie dotyczyło klasy.Pytanie dotyczyło tego, czy na poziomie absolwentów istnieją rzeczy „niedopuszczalne”.
@cHao,, proszę zapoznać się z długim akapitem, w którym jest bezpośrednio zaadresowany.
@Buffy: Ale pozostałe 2/3 odpowiedzi dotyczy tylko przykładu w klasie.Odpowiedź na rzeczywiste pytanie można łatwo zgubić w hałasie.
@cHao, Poruszyłem go trochę.Mam nadzieję, że już nie protestujesz.
@Buffy: działa dla mnie.Masz głos za.:)
Jednym z powodów, dla których należy „nie dopuszczać” wyników, które nie zostały jeszcze zbadane, jest to, że pomaga to uniknąć logiki cyrkularnej.Standardowy przykład: student jest proszony o pokazanie, że lim_ {x -> 0} sin (x) / x = 1. Student stosuje regułę L'Hôpitala, wykorzystując fakt, że pochodną sin (x) jest cos (x)).Jednak zwykły sposób udowodnienia, że pochodną sin (x) jest cos (x), wymaga znajomości wartości lim_ {x -> 0} sin (x) / x.Jeśli „zabronisz” zasadom L'Hôpital w rozwiązywaniu pierwotnego problemu, zapobiegniesz pojawieniu się tego problemu.
@NateEldredge,, jeśli powiesz „udowodnij„ X ”bez użycia L'Hôpital”, to jest to uczciwe pytanie.Ale bez tego kwalifikatora, jak możesz sprawiedliwie obniżyć poziom ucznia po fakcie?Nazwałbym „faul”.Więc tak, zabroń, jeśli chcesz, ale wyraź to.Wydawało się, że tak nie jest w tej konfiguracji.
Cóż, możesz mieć politykę stałego kursu, aby nie zakładać wyników, które nie zostały jeszcze udowodnione.Jest to na tyle powszechne, że instruktor mógł założyć, że było to oczywiste.Lub, obniżka mogła w rzeczywistości wynikać z logiki cyrkularnej, ale rozumowanie zostało źle wyjaśnione lub źle zrozumiane.
@NateEldredge, to, co mówisz, wydaje się_ uzasadnione, ale nie w tym przypadku.Uczeń trafił do szpitala i uczył się samodzielnie.To samo w sobie było utrudnieniem.Teraz, jeśli chcesz nałożyć (po fakcie) kolejny handicap, nazywam „faul”.Właśnie dlatego egzaminy są tak marnym substytutem zapewnienia nauki.Instruktor nie może rozsądnie myśleć o wszystkim.Nie należy oczekiwać od ucznia znajomości tajnych meta-reguł.Tak, uczeń musi rozumieć rozumowanie w obiegu zamkniętym, ale egzamin nie jest do tego dobrym narzędziem.Już sama presja sprawia, że chwytasz się pierwszego rozsądnego rozwiązania.
@Buffy Ale gdzie w takim razie wyznaczyć granicę?Zdaj egzamin z teorii grup, prosząc o wykazanie, że grupa o określonej kolejności nie jest prosta.Czy należy pozwolić uczniowi po prostu stwierdzić „wynika z klasyfikacji”, czy może po prostu (w przypadku, gdy kolejność jest nieparzysta) „wynika z Feit-Thompsona”?
@TobiasKildetoft,, w którym rysuję granicę, jest uzależniony od egzaminów.Ale jeśli uczeń poda odpowiedź oderwaną od ściany, zamiast po prostu oznaczyć ją jako „nieprawidłową”, możesz zbadać z nim, co się dzieje i być może zwiększyć jego / jej zrozumienie.Spraw, aby uczniowie pracowali, a nie tylko pamiętali rzeczy w środowisku o wysokim ciśnieniu.
Buffy, cc @NateEldredge Jak to jest tajna meta-reguła, aby nie używać przyszłych rozdziałów?Ach, ok, myślę, że widzę nieporozumienie.Reguła L'Hôpital w naszym podręczniku (Stewart) znajduje się w rozdziale 4, podczas gdy egzamin (zapomniałem, czy był to drugi egzamin, czy semestr śródokresowy) obejmuje co najwyżej rozdziały 1-3. Nie jest tak, że reguła L'Hôpitalomówione razem z tematami z rozdziałów 1 - 3, a następnie powiedziane, że na egzaminie zasada L'Hôpital nie będzie dozwolona.Uważam, że powinno to być jasne, ponieważ komentarz brzmiał: „Nie wolno ci jeszcze używać reguły L'Hôpital”.Potem znowu...
... wydaje mi się, że można rozpocząć rozdział 4 jeszcze przed zakończeniem wszystkich egzaminów z rozdziałów 1 - 3, np. rozdział 3 kończy się w poniedziałek, rozdział 4 zaczyna się we wtorek, ale egzamin z rozdziału 3 odbywa się w piątek.Dlatego zasada L'Hôpital mogłaby zostać omówiona przed egzaminem z rozdziału 3, ale egzamin z rozdziału 3 nie dopuszcza reguły L'Hôpital.Czy to właśnie miałeś na myśli?Może wtedy nie byłam jasna.W takim przypadku mógłbym zastąpić regułę L'Hôpitala zbieżnością szeregów lub granicami wielu zmiennych.Ale tak naprawdę nie o to chodzi ...
@BCLC, Nie rozumiem komentarza.Jeśli podana jest wyraźna reguła, nie mam z tym problemu.Uczeń też nie powinien.Ale pierwotne pytanie tego nie mówiło.
Udawaj, że powiedziałem zbieżność szeregów zamiast reguły L'Hôpitala.Czy twoja odpowiedź się zmienia?
Przepraszam, nie zamierzam spekulować.To stała się argumentem bez końca.Traci sens.Rozważ proszę moje ogólne uwagi na temat egzaminów.
Zgadzam się ze stanowiskiem @NateEldredge.Ten problem został już omówiony [tutaj] (https://academia.stackexchange.com/q/80898/40589).
Unikanie logiki cyrkularnej wydaje się dobrym pomysłem, ale omija kwestię definicji.Jeśli * zdefiniuję * sin (x) w kategoriach szeregu potęgowego lub złożonego wykładnika, nie jest * oczywiste *, dlaczego potrzebuję granicy sin (x) / x, aby ją rozróżnić, nawet jeśli może być jakiś głęboki powód.Czy też muszę udowodnić, że moja definicja sin (x) ma coś wspólnego z geometrią okręgów, zanim będę mógł jej użyć na egzaminie ???
Myślę, że zasada L'Hopital jest * wyjątkowo szkodliwa * i powoduje, że uczniowie nie uczą się o granicach i natychmiast zapominają o wszystkich ograniczeniach, w sposób, który zasadniczo nie ma dobrych podobieństw w innych elementach programu nauczania matematyki.Więc nie sądzę, aby można było zastąpić coś innym i zadać to samo pytanie.Ktoś, kto używa L'Hopital, aby powiedzieć: oblicz \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {x ^ 2} {x}, nie wykazuje bardziej zaawansowanego zrozumienia materiału, pokazuje, że nie rozumie materiału!
#10
+4
Dmitry Savostyanov
2018-08-29 20:07:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie sądzę, aby w badaniach naukowych istniały niedopuszczalne twierdzenia, chociaż oczywiście należy uważać, aby nie polegać na założeniach, które nie zostały jeszcze udowodnione dla konkretnego problemu.

Jednak w przypadku doktoratu lub pracę podoktorską, czuję, że niektóre podejścia mogą być raczej „nie na temat” z powodów nie-akademickich. Na przykład, jeśli zapewniasz sobie fundusze doktoranckie na studiowanie tematu X, nie powinieneś normalnie używać go do studiowania Y. Podobnie, jeśli zapewniasz sobie stanowisko podoktoranckie w zespole, który opracowuje metodę A i chcesz studiować metodę B swojego PI może chcieć ograniczyć czas spędzany na B, więc nie przekracza czasu spędzanego na rozwijaniu A.Niektórzy PI są dość znani w tym sensie, że nie tolerują nawet dotykania jakiejś metody C, z powodu ich z ważnych powodów, więc nawet jeśli masz pełną swobodę akademicką i badasz metodę C, jeśli ją lubisz, może to być „niedopuszczalne” w ramach Twoich obecnych warunków pracy.

Dzięki Dmitry Savostyanov!To brzmi jak coś, o czym myślałem, ale to dotyczy badań stosowanych?Czy też do badań teoretycznych?
Nawet w czystej matematyce ludzie mogą czasami być bardzo opiekuńczy.A ludzie z matematyki stosowanej mogą być bardzo otwarci.Być może chodzi bardziej o osobiste podejście do nauki.
#11
+3
user47796
2018-08-30 14:48:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Przedstawię pokrewny punkt widzenia spoza środowiska akademickiego, a mianowicie komercyjnej / rządowej organizacji badawczej.

Spotkałem badaczy i menedżerów, którym przeszkadza to, co nazywam mentalności egzaminacyjnej , zgodnie z którą zakładają, że na pytanie badawcze można odpowiedzieć tylko za pomocą dostarczonego zestawu danych i nie mogą odnosić się do innych danych, wyników, badań itp.

Znalazłem ta mentalność egzaminacyjna jest wyjątkowo ograniczająca i pojawia się, ponieważ badacz lub menedżer ma błędne przekonanie na temat badań, które zostały zindoktrynowane na podstawie ich edukacji (głównie opartej na egzaminach).

Faktem jest, że nie wykorzystanie danych / technik / badań na arbitralnych podstawach utrudnia badania. Prowadzi to do straconych okazji do osiągnięcia zysków przez organizacje komercyjne lub utraty konsekwencji, gdy rządy wprowadzą nową politykę lub utraconych skutków ubocznych nowych leków itp.

#12
+2
PsySp
2018-08-30 20:26:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dodam mały przykład z informatyki teoretycznej i projektowania algorytmów.

Bardzo ważnym otwartym problemem jest znalezienie kombinatorycznego (lub nawet opartego na LP ) algorytm, który osiąga granicę Goemansa-Williamsona (0,878) w celu przybliżenia problemu MaxCut w czasie wielomianowym.

Wiemy, że używając technik programowania półokończonego, ograniczenie współczynnika aproksymacji alfa = 0,878 można osiągnąć w czasie poli. Ale czy możemy to osiągnąć za pomocą innych technik? Nieco mniej ambitne, ale prawdopodobnie równie ważne: czy możemy znaleźć algorytm kombinatoryczny z gwarancją przybliżenia ścisłą lepszą niż 1/2?

Luca Trevisan dokonał znacznego postępu w tym kierunku, używając technik spektralnych.

#13
  0
Mick
2018-08-29 19:38:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

W badaniach wykorzystałbyś najbardziej odpowiednią metodę (którą znasz) do zademonstrowania rozwiązania i prawdopodobnie miałbyś również miejsce w sytuacjach, w których zostaniesz zapytany o alternatywne podejście do rozwiązania lub zaproponowano Ci alternatywne podejście (a następnie nauczysz się nowej metody) .

W przykładzie, w którym reguła L'Hôpitala była „niedozwolona”, mogłoby się zdarzyć, że pytanie można było sformułować lepiej, ponieważ brzmi jak pytanie „rozwiązać to”, zakładając, że tylko nauczane metody na kursie są znane studentom, dlatego na egzaminie zostaną wykorzystane tylko metody nauczane na kursie.

W pytaniu nie było dwuznaczności.Reguła L'Hôpital została nam przedstawiona dopiero na trzecim lub czwartym egzaminie.Mój przyjaciel inżynier przygotowywał się do drugiego egzaminu lub do jednego semestru albo do obu (zapomniałem).Byłoby jak użycie definicji ciągłości sekwencji na pierwszym egzaminie klasy analizy elementarnej, gdyby taka klasa uczyła sekwencje jako ostatnie (tak jak moja)
Rozumiem to, ale kiedy został wprowadzony, nie ma żadnego wpływu na to, czy uczniowie mogą już wiedzieć, jak go używać.Byłoby to samo pytanie: „Pokaż, że pierwsza pochodna x ^ 2 to 2x, a następnie powiedz uczniom, którzy rozwiązali to za pomocą niejawnego różnicowania, że jest to niedozwolone i że powinni użyć wyraźnego różnicowania.
Mick, ale to był egzamin z makijażu.Byłoby niesprawiedliwe wobec uczniów, którzy zdawali egzamin na czas, ponieważ nie znaliśmy wówczas reguły L'Hôpital?
Nie chodzi o bycie uczciwym.Chodzi o budowanie matematyki na sobie.Często oczekuje się, że rozwiążesz pewne problemy w określony sposób, aby upewnić się, że rozumiesz, co późniejsze rzeczy pozwalają ci uprościć lub zignorować.Jeśli była zamierzona metoda, powinna być zawarta w instrukcji.Ale jest powszechne założenie, że jeśli cię tego nie nauczono, jeszcze tego nie wiesz.
Nie zaprzeczając innym sugestiom, dlaczego może to być niedozwolone, uczciwość wobec innych uczniów nie ma znaczenia.Celem egzaminu jest ocena lub weryfikacja tego, czego się nauczyłeś, a nie decydowanie, kto wygrywa zawody.
#14
  0
Observation
2018-09-01 22:46:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cóż, w czystych badaniach matematycznych jestem pewien, że przybliżanie brutalnej siły przy użyciu komputera jest niedozwolone, chyba że jest to sposób na wprowadzenie zainteresowania tematem i być może sposób na zawężenie obszaru do zbadania. Może nawet zasugerować podejście do rozwiązania.

Badania matematyczne wymagają równań, które opisują dokładną odpowiedź i dowodzą, że odpowiedź jest poprawna poprzez wyprowadzenie z ustalonych faktów i twierdzeń matematycznych. Przybliżenia komputerowe mogą wykorzystywać coraz mniejsze interwały, aby zawęzić zakres odpowiedzi, ale tak naprawdę nie osiągają nieskończenie małej granicy stylu L'Hospital.

Oddzielny obszar komputerowych wyprowadzeń w zasadzie automatyzuje to, co już wiemy. Jestem pewien, że w wielu miejscach naukowcy mogą swobodnie korzystać z takiej komputeryzacji, aby przyspieszyć dokumentowanie pracy w takim zakresie, w jakim jest to oprogramowanie. Jestem pewien, że potrzeba jeszcze wielu ludzkich wskazówek, aby sformułować problem, wprowadzić postulaty i wybrać, które z dostępnych kroków rozwiązania spróbować. Ale najważniejsze jest to, że wszystkie takie wyprowadzenia oprogramowania musiałyby zostać zweryfikowane ręcznie przed jakąkolwiek zewnętrzną weryfikacją pod kątem błędów oprogramowania, a techniki pozostają w dozwolonych granicach (część twierdzeń IF itp.).

A po takich ręcznych kontrolach ... ilu matematyków przyznałoby pomoc programowi komputerowemu?

Widziałem, jak matematycy zajmujący się aplikacjami cytują oprogramowanie jako metodę szybkiego sprawdzenia dla kolegów, aby sprawdzić sensowność pracy w latach 80-tych. W tych zastosowaniach matematyka czasami ma prawie inżynierski pogląd na praktyczne wyniki, przypuszczam, że nadal dają one przybliżenia oprogramowania komputerowego jako szybką demonstrację PO formalnych wyprowadzeniach. Słyszałem, że matematyka aplikacji czasami rozwiązuje najbliższe przybliżenie możliwego problemu, gdy rozwiązanie konkretnego problemu wciąż ich omija. Więc znowu więcej miejsca na pomoc przy tworzeniu oprogramowania komputerowego. Nie jestem jednak pewien, czy takie tematy typu badań operacyjnych pasują do definicji wszystkich badań matematycznych.

Prosimy nie zostawiać dwóch oddzielnych odpowiedzi;powinieneś edytować swój pierwszy
Uważam, że ta odpowiedź nieco mija się z celem pierwotnego pytania, ponieważ wydaje się, że bardziej dotyczy ona korzystania z komputerów niż czegokolwiek innego i tak naprawdę nie odnosi się do pytania PO o to, czy są sytuacje, w których nie należy używać pewnych twierdzeń podczasrobić badania
#15
  0
Observation
2018-09-01 22:59:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mówiąc w skrócie, tak, techniki przybliżania komputerowego są często używane jako strzelby do poszukiwania obszarów potencjalnej zbieżności rozwiązań. Jak w „podpowiedź”. Zwłaszcza w zagadnieniach z matematyki stosowanej, w których można opisać granice świata rzeczywistego.

Znowu pojawia się pytanie, czy problemy świata rzeczywistego inne niż fizyka podstawowa są prawdziwymi badaniami matematycznymi, czy znacznie luźniejszymi matematykami stosowanymi, a nawet badaniami operacyjnymi.

Ale w faktycznym wyprowadzaniu twierdzeń z podstawowych i sprawdzonych twierdzeń do nowych twierdzeń ... komputery są bardziej ograniczone do narzędzi dokumentujących, podobnych do edytorów tekstu w prozie. Wciąż narzędzia stają się coraz ważniejsze w celu przyspieszenia bardziej powszechnego sprawdzania równań w udokumentowanej pracy, ponieważ procesory tekstu sprawdzają pisownię i gramatykę pod kątem prozy. I więcej obszarów, w których człowiek musi nadpisać lub przekierować.

Uważam, że ta odpowiedź nieco mija się z celem pierwotnego pytania, ponieważ wydaje się, że bardziej dotyczy ona korzystania z komputerów niż czegokolwiek innego
Nie twórz również dwóch nowych tożsamości użytkowników.Zarejestruj taki, który może być używany konsekwentnie
#16
  0
tparker
2018-09-04 08:02:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Aksjomat wyboru (i jego następstwa) jest obecnie dość dobrze akceptowany w środowisku matematycznym, ale czasami można spotkać kilku matematyków ze starej szkoły, którzy myślą, że jest to „złe”, a zatem każdy wniosek, że używasz aksjomatu wyboru, aby udowodnić, że jest również „zły”. (Oczywiście, co to w ogóle oznacza, że ​​aksjomat wyboru jest „zły”, jest w dużej mierze kwestią filozoficzną.)



To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 4.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...