Pytanie:
A jeśli wykładowca nie jest rygorystyczny?
studying
2015-09-23 02:52:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Studiuję matematykę jako przedmiot główny oraz fizykę teoretyczną i statystykę jako przedmioty dodatkowe. Zauważyłem, że czasami na wykładach z fizyki lub statystyki wykładowca popełnia błędy, takie jak zapominanie o udowodnieniu zbieżności serii lub obliczanie całek wielowymiarowych przy użyciu tylko jednej ścieżki. Kiedyś spędziłem trzy tygodnie, aby znaleźć prawidłowe uzasadnienie, dlaczego jedna konkretna seria jest zbieżna. Czy powinienem coś powiedzieć prowadzącemu o tych błędach?

A potem słyszysz "widzimy, że ta seria rozbiega się w nieskończoność. Podsumujmy to". W niektórych sytuacjach jest to całkowicie rozsądne rozwiązanie, ponieważ sumuje się to w pewnym sensie, co ma fizyczną interpretację.
„zapomnienie o udowodnieniu” czegoś matematycznego nie jest „błędem” w fizyce. Jedynym „dowodem”, jakim jestem zainteresowany jako fizyk, jest weryfikacja eksperymentalna.
Zauważ, że na każdego ucznia, który zastanawia się nad zbieżnością serii, jest uczeń, który jest całkowicie zaskoczony całą matematyką i ma problemy z radzeniem sobie. Ten student potrzebuje wysokiego poziomu, intuicyjnego przeglądu, który prawdopodobnie próbuje zapewnić niespokojny wykładowca. Ma tylko dwie godziny.
To jest główny powód, dla którego zmieniłem kierunek z inżynierii na czystą matematykę - mój mózg matematyczny nienawidził machania rękami i niedokładności matematyki wykonywanej na zajęciach z przedmiotów ścisłych, a reszta mojego mózgu nie kocha nauki na tyle, aby się z nią uporać . Przynajmniej możesz przyjąć to jako znak, że matematyczna część twojego myślenia jest na dobrej drodze.
Szczególnie w inżynierii koncepcje te i ich dowody często uczą się rygorystycznie na zajęciach z matematyki. Wykładowca fizyki zakłada następnie, że ta wiedza jest już dobrze ugruntowana. Z tego powodu często kurs fizyki wymaga wstępnego warunku matematycznego.
„Kiedyś spędziłem trzy tygodnie, aby znaleźć prawidłowe uzasadnienie, dlaczego jedna konkretna seria jest zbieżna”. czy ta odpowiedź już na to nie odpowiada? Czy studiujesz konwergencję szeregów lub fizykę?
To nie są błędy. Wykłady z przedmiotów ścisłych generalnie poświęcają mniej uwagi dowodzeniu właściwości matematycznych, aby zaoszczędzić czas i aby faktycznie skupić się na nauce. Większość tej matematyki można znaleźć w literaturze i ma ona niewielkie znaczenie.
Gdyby profesorowie fizyki musieli udowodnić każde małe matematyczne twierdzenie, którego używali, kiedy mieliby czas na nauczanie fizyki? A co pozostało by matematykom do zrobienia?
„[Matematycy są skłonni uważać ficyzistów za nieco niższą kategorię bytów] (https://youtu.be/iQlg86lsy-o?t=2m0s), którzy mają do czynienia z wiedzą, która jest * nieco * pewna lub przynajmniej dość prawdopodobna. " ~ Dr Greg Moore, University of Toronto
Czy to naprawdę „błąd”? A może lepiej byłoby to sklasyfikować jako „pominięcie”?
Wydaje się to mylić treść wykładu z kursem. Wykłady są wprowadzeniem do tematów i nie można oczekiwać, że będą obejmować wszystko, co powinieneś wiedzieć ze szczegółami. Po to jest dodatkowe czytanie i praca nad ćwiczeniami. Za każdą godzinę kontaktu (wykłady i ćwiczenia) oczekuję od moich studentów 2-3 godzin samodzielnej nauki. Uniwersytet to nie szkoła średnia.
Siedem odpowiedzi:
#1
+102
Anonymous Physicist
2015-09-23 03:03:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

W fizyce celowo nie udowadniamy zbieżności szeregów, ponieważ nie jesteśmy zainteresowani nauczaniem takich pojęć jak zbieżność. Kursy fizyki nie mają być matematycznie rygorystyczne. Po prostu nie jest to jeden z celów.

Ciekawy. Dlaczego nazywasz takie rzeczy jak serie, jeśli nie używasz ich jak matematycy? Dlaczego nie stworzysz nowej struktury, która spełni Twoje potrzeby w określonych sytuacjach?
Mogłeś źle zrozumieć. Używamy serii, ponieważ dają one właściwy wynik. I * troszczymy się * o to, żeby się zbiegały, po prostu nie bawimy się z tym problemem podczas zajęć. Dowiedzieliśmy się o zbieżności szeregów na zajęciach z matematyki i poważni teoretycy martwią się o to podczas pisania prac (eksperymentatorzy tacy jak ja generalnie nie muszą tego robić, ponieważ ktoś inny już to zrobił), ale czas zajęć jest zbyt cenny, aby go marnować * chyba że * granice konwergencji będą ważne w tej klasie problemów.
Powiązane na [physics.se]: http://physics.stackexchange.com/questions/27665/the-role-of-rigor
To jest standardowa odpowiedź i zagłosowałem za nią. Jednak zawsze byłem tym głęboko sfrustrowany i czułem się z tego powodu odcięty od większości fizyki. Od czasów liceum rzeczy były w pełni wyjaśniane na moich kursach matematyki i bardzo nieregularnie wyjaśniane na moich kursach ścisłych. Dbamy o zbieżność szeregów, ponieważ rozbieżne szeregi mogą być absolutnie bez znaczenia. Jak rozumienie, dlaczego wykonywane procedury mają znaczenie, nie może być częścią nauczania przedmiotów ścisłych?
Jest to szczególnie frustrujące, ponieważ wydaje się być, jak sugerują komentarze, raczej kwestią pedagogiki nauki niż samej nauki. Jeśli tak naprawdę nikt nie wie, że seria jest zbieżna, jest to ogromny problem: np. ten problem przyniósł Feynmanowi, Schwingerowi i Tomonadze nagrodę Nobla. Wszyscy czołowi fizycy, których spotkałem, rozumieją zbieżność szeregów tak samo dobrze jak ja; Różnica polega na tym, że ta wiedza jest przechowywana głównie w ramach pedagogiki fizyki. Nie sądzę, żeby fizyka kładła mniejszą wagę na „prawdziwe zrozumienie” niż matematyka, więc jest to dziwny stan rzeczy.
@PeteL.Clark w kontekście fizyki „prawdziwe zrozumienie” pojawia się, gdy teoria przewiduje eksperyment. To, czy teoria jest zgodna z pewnym zestawem aksjomatów, nie jest zbyt istotne.
(Nie wspomniałem o "aksjomatach" i myślę, że zbieżność szeregów ma z nimi niewiele wspólnego.) Myślę, że bagatelizujesz użycie matematyki w fizyce: przez setki lat pisano większość lub wszystkie teorie fizyczne w języku matematyki, więc jeśli nie rozumiesz matematyki, tak naprawdę nie rozumiesz swojej teorii. Tylko dlatego, że prawidłowo przewiduje eksperyment * do tej pory *, nie oznacza, że ​​poprawnie zastosujesz go do przyszłych prognoz. Czy zrozumienie matematyki nie jest do tego niezbędne?
Jeśli prosisz o całkowity rygor, jak głęboko chcesz powtórzyć? To mogłoby sięgać aż do wyprowadzenia podstawowych zasad matematyki ... W pewnym momencie wystarczy powiedzieć „wiemy o tym; może to być banalnie oczywiste lub nie; jeśli w to wątpisz, możesz ponownie wyprowadź to na swój własny czas, ale jest to ortogonalne do punktu, którego próbujemy teraz uczyć.
@PeteL.Clark Standardową odpowiedzią wydziału fizyki jest to, że wydział matematyki ma zapewnić wszystkie te narzędzia. Uczniowie mogą (i powinni) sprawdzić, czy twierdzenia profesorów fizyki rzeczywiście są aktualne, ale w swoim czasie. (Nie ma już wystarczająco dużo czasu na wykłady, aby uczniowie mogli przejść przez rok 1920 bez dodatkowej matematyki). W przeciwnym razie po co są te wszystkie zajęcia z matematyki, które muszą przejść kierunki fizyczne? Jeśli wydział matematyki nie uważa, że ​​jest to ich odpowiedzialność (jak widziałem i jest to w porządku), wówczas wina spada na komunikację między działami.
@Chris: Tak, studenci powinni poznać teorię zbieżności szeregów na zajęciach z matematyki. Nie o tym mówi OP: mówi, że serie są używane bez sprawdzania, czy są zbieżne, i że spędził trzy tygodnie na samodzielnym sprawdzaniu. - W przeciwnym razie po co te wszystkie zajęcia z matematyki, które muszą przejść specjaliści z fizyki? Uważam, że pomysł, że student, który otrzyma jakieś wstępne przygotowanie matematyczne, powinien być całkowicie samowystarczalny w wypełnianiu szczegółów matematycznych, jest raczej dziwny: ...
@PeteL.Clark dla zrozumienia określonej części fizyki wystarczy zauważyć "tak, ta seria jest zbieżna i ta całka jest prawidłowa; autorzy to udowodnili, ale te szczegóły są poza zakresem dla tej klasy". Jeśli robisz nowe oświadczenie, ważna jest dyscyplina; ale teorię i praktykę, jak to zrobić, należy zdobyć na zajęciach z matematyki.
.... Kilkanaście lat minęło od doktoratu z matematyki i nie jestem w stanie samodzielnie wypełnić wszystkich matematycznych szczegółów. Jeśli chodzi o fizykę, mam szczególne kłopoty i dlatego wiele lat temu przestałem chodzić na zajęcia z fizyki. Myślę, że trening matematyczny musi znacznie wykraczać poza to, czego się używa, aby móc wypełnić go w locie podczas nauki fizyki. Na przykład po uzyskaniu doktoratu uczyłem rachunku wielowymiarowego i ucieszyłem się, gdy dowiedziałem się, że w wieku 27 lat jestem w stanie uzupełnić matematyczne szczegóły dotyczące fizycznych wyjaśnień. Nie mogłem tego zrobić w wieku 17 lat.
Nie powiedziałem, że ten materiał powinien zostać omówiony w czasie wykładu (i myślę, że opisanie tego przez OP jako "błędu" przez jego wykładowcę jest niedokładne; według standardów szanowanej, inteligentnej społeczności nauczycieli fizyki, z pewnością nie jest to błąd). Prawdopodobnie nie powinno tak być, przez większość czasu. Denerwuje mnie to, że ten materiał - dobrze znany wielu fizykom - jest tak całkowicie nieobecny w podręcznikach fizyki. Wiedza jest, ale nie jest przekazywana. To wstyd, i to wyłącza wielu matematycznie myślących ludzi ... Myślę, że niepotrzebnie.
@Peteris: „Jeśli robisz nowe stwierdzenie, rygor jest ważny; ale teorię i praktykę dotyczącą tego, jak to zrobić, należy zdobyć na zajęciach z matematyki.” Nieskończone serie są rzeczywiście nauczane na lekcjach matematyki. Tam dowiadujemy się, że aby sensownie wykorzystać szereg, należy wykazać, że jest on zbieżny (ewentualnie należy zastosować metodę sumowania ...). Pokazywanie zbieżności nie musi być w żadnym sensie rutynowe: hipotezę Riemanna można sformułować w kategoriach zbieżności szeregów. PO spędził nad tym trzy tygodnie. Skoro to nie jest „nowy materiał”, czy nie powinno być dla niego dostępnych zasobów?
@PeteL.Clark Myślę, że nie ma tego w książkach, ponieważ nie jest to normalny sposób myślenia fizyka. Ponieważ modelujemy rzeczywistość, rozwiązania zwykle istnieją i są unikalne; zbieżność można odrzucić, zauważając, że następny człon jest o rząd wielkości mniejszy ... wszystko to sprawia, że ​​zęby matematyka drżą z niedokładności. Są przypadki, w których trzeba być ostrożnym i sprawdzać, ale przez większość czasu nie przejmujemy się, ponieważ równania są wystarczająco dobrze zachowane (i oczywiście gryziemy się, gdy zakładamy, co jest fałszywe!).
@PeteL.Clark Program nauczania jest ograniczony czasowo, wydawca podręczników będzie zadowolony tylko z tylu stron, a uczeń wytrzyma tylko tyle godzin nauki. Jeśli dojdzie do zbieżności szeregów i kilku innych zasad matematycznych, na poziomie rygoru, który student matematyki zaakceptowałby bez szyderstwa (kiedyś byłem), nie będzie czasu na nic ciekawego z fizyki. Twoje stwierdzenie o zniechęcaniu uczniów „myślących matematycznie” jest obce; nie chcemy też odciągać od fizyki tych, którzy nie mają zamiłowania do matematycznego rygoru.
@PeteL.Clark W mojej obecnej pracy jako fizyk eksperymentalny, gdybym chciał wiedzieć, czy seria jest zbieżna, szukałbym go w Google lub zapytał Mathematica. Niewyraźnie pamiętam podstawową teorię, ale szczerze mówiąc, nie ma to dla mnie znaczenia.
@studying Gdybyśmy byli zainteresowani tworzeniem struktur matematycznych, bylibyśmy matematykami.
@Calchas: Szczerze mówiąc, tego rodzaju argumenty uważam za bardzo smutne. W szczególności twierdzenie, że uzasadnianie matematyki, którą się wykonuje, zajęłoby zaporową ilość miejsca w podręcznikach: z jednej strony widzę na to niewiele dowodów, a dowody przeciwne to liczba fizyków o matematycznych poglądach, którzy dokładnie wiedzą, jak to zrobić. wyjaśniać rzeczy, ale zazwyczaj nie chce z drugiej strony: fizyczne (!!) podręczniki i programy nauczania określone przez wydawców podręczników to więc ostatnie tysiąclecie. W internecie jest dużo miejsca.
@PeteL.Clark Przepraszam, że przyniosę ci nieszczęście. Zawsze istnieje obowiązkowy kurs matematyki obejmujący podstawy, uczniowie na ogół wolą zwięzły i jasny program nauczania (i egzamin), a nie są one rozpowszechniane w całym Internecie, a zainteresowany student może pracować nad matematyką na inne tematy, jeśli lubi i ma czas. Nie rozumiem, co by to dodało do fizycznej intuicji, gdybyśmy przeanalizowali dziesiątki dowodów twierdzeń o zbieżności. Wolałbym, żeby uczniowie spędzili ten czas w laboratorium, zajmując się fizyką.
A pomysł, że udostępnienie materiału populacji X może zniechęcić populację Y: daj spokój, to straszny argument. Jest to całkowicie sprzeczne ze sposobem działania środowiska akademickiego. Wreszcie argument, że jesteś profesjonalistą X, że nie używasz osobiście A w swojej pracy i dlatego zniechęcasz A do pojawienia się na studiach licencjackich, również zniechęca. Myślę, że kulturowa niezgodność między współczesnymi społecznościami matematycznymi i fizycznymi nie jest nieunikniona, ale raczej zmarnowana szansa.
@Calchas: „Nie widzę, co by to dodało do fizycznej intuicji, gdybyśmy przeanalizowali dziesiątki dowodów twierdzeń o konwergencji”. Powiedziałem, że ten materiał prawdopodobnie nie powinien być omawiany na zajęciach przez większość czasu. Twój komentarz na temat internetu nie ma dla mnie większego sensu: wiele osób na świecie uczy się materiałów z internetu; tych, którzy biorą udział w kursach licencjackich i nie tylko. Umieściłem w internecie ponad 2000 stron materiałów i otrzymuję korespondencję na ten temat od ludzi z całego świata. Ale jeśli chodzi o kursy, które prowadzę, pełne czytanie notatek nie jest wymagane.
@PeteL.Clark Cóż, w takim razie może się nie zgadzamy. :)
Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji; ta rozmowa została [przeniesiona do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/29466/discussion-on-answer-by-anonymous-physicist-what-if-the-lecturer-is-not-rigorous) .
Zapominacie, że wiele z tych twierdzeń jest prawdziwych tylko w przypadku „warunków fizycznych”. Na przykład możemy mówić o szeregu Taylora i ogólnym założeniu, że elementy będą dominujące, w oparciu o naszą fizyczną intuicję, podczas gdy matematyczne udowodnienie (lub może nawet nie być prawdą) tego samego dla dowolnej funkcji matematycznej może być bardzo trudne.
Rozumiem, co mówisz, ale jest tu trochę dokuczliwy punkt: „jak zapomnienie o udowodnieniu zbieżności szeregu lub obliczanie całek wielowymiarowych przy użyciu tylko jednej ścieżki”. Ze sformułowania wynika, że ​​profesor po prostu pomija te kwestie bez wzmianki. Czy profesor nie powinien przynajmniej * wspomnieć *, jakie są poczynione założenia i jakie są drogi na skróty? Jest to ważne nie tylko dla studentów matematyki, ale także dla studentów nauk ścisłych. * Musisz * rozumieć, do czego możesz, a do czego nie możesz używać swoich narzędzi. Uczniowie, którzy tego nie zrobią, zastosują je niewłaściwie.
@PeteL.Clark Czy możesz mi powiedzieć, ile czasu zajęło ci, zanim zdałeś sobie sprawę, że fizyka nie jest dla ciebie czymś? Jestem teraz na kursie fizyki, chociaż moim głównym tematem jest matematyka i mam podobne mieszane uczucia i obawy, które wyraziłeś tutaj.
Ciekawym eksperymentem pedagogicznym byłoby stworzenie matematycznego uzupełnienia niektórych standardowych podręczników fizyki. Wtedy uczeń, któremu te kwestie przeszkadzały, mógł z łatwością uzyskać odpowiedzi na swoje pytania w jednym miejscu.
Problem w moim zdaniu polega na tym, że uczniowie uczą się, że nie trzeba sprawdzać, czy szereg jest zbieżny, i że nie powinno ich to obchodzić, czy tak jest ... Widzę od czasu do czasu (czyli bardzo często) fizykawyciągając błędne wnioski, ponieważ uważają, że seria jest zbieżna, a tak nie jest ... Mówicie, że w ten sposób trenujecie następne pokolenie, nawet jeśli jestem pewien, że NIE jest to waszym celem ...
#2
+74
jakebeal
2015-09-23 07:41:07 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Pozwólcie, że po drugim poście dodam myśl, która stwierdza, że ​​nie jest to błąd pedagogiczny. Przyjmij to jako coś oczywistego: nie musisz „wzywać” profesora za to, że nie uczył „właściwie”. Jednak nadal jest tak, że osobiście chcesz głębiej zagłębić się w matematyczne podstawy tych pojęć i uznać, że jest to ważne dla twojego zrozumienia.

To świetnie! Możesz nauczyć się czegoś naprawdę interesującego i postawić się na ścieżce, aby stać się osobą, która robi postępy w nauce, atakując tego rodzaju pytania.

Teraz sugerowałbym skontaktowanie się z twoim profesorem z tego perspektywa, zamiast traktować ją jako problem z ich nauczaniem. Zapytaj, czy są książki lub inne zasoby, które profesor zasugerowałby, gdzie możesz dowiedzieć się więcej o dowodach stojących za tymi twierdzeniami. Jeśli profesor nie ma dla ciebie dobrych sugestii, spróbuj poszukać miejsc takich jak Physics.SE. Jeśli nie możesz znaleźć wystarczająco rygorystycznego dowodu, może to oznaczać, że go nie ma (mało prawdopodobne, ale zdarza się), a to może być interesująca okazja!

Lista książek o fizyce skierowanych do matematyków jest [to pytanie] (http://math.stackexchange.com/q/950672/159634) na Math.SE (reklama: gdzie można nawet znaleźć moją odpowiedź :-) ).
#3
+30
paul garrett
2015-09-24 01:41:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Powtarzając części innych odpowiedzi i niektóre komentarze: po pierwsze, niewłaściwe jest uznawanie pominięć, takich jak „dowód zbieżności”, za „błąd”. Po prostu nie ma absolutnego obowiązku sprawdzania, czy wszystkie części matematyki działają zgodnie z oczekiwaniami fizyka z innych powodów. Tak, ty lub ja i inni moglibyśmy chcieć zobaczyć dowód, to jest matematyczną przyczynowość, ale nie jest to po prostu obowiązkowe. (I odwrotnie, możemy udowodnić rzeczy bez bezpośrednich fizycznych przejawów lub fizycznego rozumowania ...)

W rzeczywistości „konwergencja” jest jedynie prostą formą tego, czego można by chcieć, i sama w sobie nie jest obowiązkowa (a tym bardziej dowód). Rzeczywiście, czytałem, że Poincare odkrył pod koniec XIX wieku, że szeregowe rozwinięcie rozwiązania równania różniczkowego stosowanego przez wiele dziesięcioleci (z powodzeniem) w mechanice niebieskiej nie zbiegło się. Nie żeby jego zbieżność była trudna do udowodnienia, ale że zdecydowanie się rozeszła. Ale / a ludzie otrzymywali prawidłowe wyniki liczbowe. Cóż, to była „ekspansja asymptotyczna”, ale / i takie rozszerzenia są pod pewnymi względami delikatniejsze (np. Różnicowanie terminowe) niż zbieżne szeregi potęgowe, a szczegóły matematyczne nie były wypełniane przez kilka dekad.

Innym przykładem jest PGM Książka Diraca o mechanice kwantowej, która wykorzystywała rozkłady i operatory nieograniczone w sposób nieuzasadniony przez 20 lat (w pracy L. Schwartza). Czytałem, że J. von Neumann i inni byli bardzo zaniepokojeni brakiem „rygoru”, a nawet jego pretekstem, który zmotywował ich do podjęcia takich prób ... Niemniej jednak predykcyjna i wyjaśniająca moc dzieła Diraca była niekwestionowany i byłoby śmiesznie odrzucić to, ponieważ nie mógł dostarczyć dowodów lub nie dbał o to.

Jak zauważono powyżej, rzeczywiście wydaje się, że matematyka trudna do uzasadnienia jest dość znośna, gdy quasi-magicznie przewiduje fizyczne szczegóły lub quasi-magicznie okazuje się być dokładnym narzędziem do prowadzenia ksiąg lub obliczeń dla obserwowalnych fizycznych zjawisk.

Tak, powinniśmy myśleć zupełnie inaczej, kiedy / jeśli dążymy do „odwrócenia” takiej matematyki do sytuacji czysto matematycznych, w których może nie być prawdziwego zjawiska fizycznego do zaobserwowania i przetestowania. Nie, nie mam takiej intuicji fizyki, która sugeruje (moim zdaniem) oburzające manipulacje matematyczne, więc sam zdecydowanie potrzebuję jednego lub obu zwięzłych przykładów i przekonujących (!) Dowodów, które zapewniają mnie, że istnieje pewna "przyczynowość" wykraczająca poza dosłowne namacalne świat. Ale w rzeczywistości historia sugeruje, że wiele interesującej matematyki wywodzi się z „oburzających” matematycznych wyczynów fizyków z wyobraźnią, więc takie rzeczy są dobrym źródłem!

I tak, czasami czysto matematyczne uzasadnienie oczywiście ... niezbędne sztuczki matematyczne w fizyce są znacznie bardziej wyrafinowane niż bezpośrednie fizyczne wyjaśnienie / motywacja / zjawisko. Jasne, czasami matematyka nie jest trudna i po prostu pomijana z powodu braku zainteresowania. Czasami matematyka jest głęboko trudna lub wręcz niemożliwa w danym roku ze względu na techniczne ograniczenia czasu. Ten fakt, który pojawiał się w kółko, jest moim zdaniem filozoficznie i naukowo prowokujący.

Więc tak, ja też byłem zaniepokojony czytaniem relacji fizyki, które (aby moja percepcja) szalone matematyczne rzeczy. Dawno temu myślałem, że to definitywna porażka, a rygor jest wymagany i możliwy. W tej chwili widzę, że te sytuacje są dużo bardziej skomplikowane, a oszacowanie konkretnego wystąpienia może być nieoczekiwanie nietrywialne!

Paul: To przemyślana odpowiedź. Po pierwsze, masz rację, że rozbieżne szeregi są znacznie bardziej przydatne w fizyce niż w większości dziedzin matematyki. Moim zdaniem jest to argument, że fizycy powinni zwracać większą uwagę na te kwestie niż większość matematyków. Prawdą jest, że ekspansje asymptotyczne można z powodzeniem stosować nawet wtedy, gdy nie jest znany formalizm matematyczny. Prawdą jest też, że można z nich korzystać bezskutecznie, a są przykłady zarówno ...
... Masz też rację, że czasami "rygorystyczne" (nie moje ulubione słowo ...) matematyczne uzasadnienie czegoś, co jest używane przez fizyków, jest bardzo wyrafinowane, że czasami nikt nie wie, jak matematycznie uzasadnić to, co jest fizycznie i że niekoniecznie jest to zła rzecz: w rzeczywistości quasi-magiczne przewidywania fizyczne są jedną z korzyści wynikających z kulturowych relacji między matematyką a fizyką. Chciałbym widzieć więcej, a nie mniej. Nie wierzę w to, że „nie ma znaczenia”, czy teorie fizyczne mają solidne podstawy matematyczne.
… Czy to nie jest jakiś klubowy uścisk dłoni, którego starsi studenci fizyki uczą młodszych studentów fizyki, pewnego rodzaju machismo? A teraz niektórzy ludzie tutaj to powtarzają. Ale oczywiście to ma znaczenie: genialni ludzie, niektórzy nazywani „matematykami”, a niektórzy nazywani „fizykami”, bardzo ciężko pracowali, aby oprzeć teorie fizyczne na solidnych podstawach matematycznych. A mimo to niewiele jest śladów tych wysiłków na studiach licencjackich. Właśnie temu się sprzeciwiam: nie wszystko jest znane, ale pewne rzeczy są. Tym, którzy są, należy powiedzieć.
@PeteL.Clark, tak, oczywiście, nawiasem mówiąc, jest jakiś wykluczający riff (socjologia człowieka), który wszystko zmywa. Np. Racjonalizacja ograniczeń lub wad jako cnoty. :) Postrzeganie rzeczy przez studentów i studentów (z mojego doświadczenia) ma tendencję do dryfowania w kierunku karykatury / nadmiernego uproszczenia / machizmu ... choćby dlatego, że są nastolatkami (nieważne historyczne / ewolucyjne poczucie dorosłości w wieku 13 lat itp.) ...) Mamy więc bowdlerization + clubhouse / insider-trading odmowa.
@PeteL.Clark To moje pytanie jest nieco nie na temat, ale pytam cię teraz, ponieważ to pytanie tutaj jest idealną okazją do zrobienia tego i zawsze chciałem zapytać wiedzącego, starszego (to znaczy ode mnie) ) matematyk to: Czy słyszałeś lub znasz ludzi, którzy również zaczynali jako matematycy, którzy mają te same frustracje / skargi związane z fizyką, o których wspomniałeś w różnych komentarzach do odpowiedzi na to pytanie (jestem matematykiem robiącym teraz doktorat i mają absolutnie te same skrupuły, które opisujesz), ale udało im się przezwyciężyć ich „potrzebę rygoru” i [...]
[...] teraz wykonujesz znaczącą pracę w fizyce (fizyka tak teoretyczna, że ​​prawie matematyka się nie liczy!)? A jeśli nie jest to osobiste pytanie (to jest, proszę, zignoruj ​​to), jak czułeś swój wybór, by nie studiować więcej fizyki długo potem, później: Czy byłeś szczęśliwy, że rzuciłeś coś, w czym miałeś wrażenie, że jesteś? zablokowany ”czy nadal odczuwasz (jak czasami to robię, ponieważ już jakiś czas temu, na początku swojej kariery, studiując fizykę, przestałem) lekką frustrację, że to był jeden zamek wiedzy, który zawsze zabraniał ci wstępu?
@PeteL.Clark I drugi użytkownik10324 ze swoim zapytaniem! Byłoby wspaniale, gdybyś mógł odpowiedzieć na jego pytania, choćby tylko na niektóre z nich. Jestem też studentem matematyki, który nie ma problemów z fizyką!
@PeteL.Clark Tak, proszę, daj nam odpowiedź zmagającym się matematykom (to błogosławieństwo dla mojej udręczonej duszy, gdy widzę, że inni matematycy również mają problemy z fizyką). Zobacz także moje komentarze do drugiej odpowiedzi ....
#4
+13
einpoklum
2015-09-24 22:29:38 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie umniejszając zalet bardziej filozoficznych odpowiedzi, oto prostsza praktyczna sugestia:

  • Idź do profesora po zajęciach lub w godzinach pracy recepcji.
  • Powiedz mu, że ponieważ jesteś nieletnim matematykiem, uważasz matematyczne rozumowanie za ważne.
  • Powiedz mu, że czasami nie możesz stwierdzić, czy krok, który robi, jest w rzeczywistości trywialny rygorystyczne uzasadnienie może zająć dużo czasu / wysiłku.
  • Zapytaj go o to, gdy robi „skok matematyczny” (drugi rodzaj powyżej), mówi klasie konkretnie, że to robi. Na przykład „ten krok wymaga dowodu, ale jest to krok czysto matematyczny, w który nie będziemy się zagłębiać”.

Możesz oczywiście poprosić go o podręcznik bardziej rygorystyczny w matematyce.

#5
+11
user1482
2015-09-24 05:44:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mam nadzieję, że PO nie urazi się zbytnio, jeśli powiem, że to pytanie wydaje się wskazywać na niedojrzałe zrozumienie znaczenia dyscypliny naukowej i relacji między różnymi dyscyplinami akademickimi. Dla ilustracji rozważmy następujący problem, który można wykorzystać jako pytanie egzaminacyjne na pierwszym roku z fizyki lub rachunku różniczkowego.

Jednolity pręt o masie na jednostkę długości b jest początkowo w pozycji stojącej i spoczynku w polu grawitacyjnym g . Przy t = 0 pręt zostaje zwolniony. W późniejszym czasie t znajdź tempo, w jakim masa przepływa przez poziomą powierzchnię przechodzącą przez pręt.

Ci z nas, którzy są fizykami lub matematykami, mogą łatwo znaleźć odpowiedź, czyli bgt.

Teraz przypuśćmy, że chcemy to nieco utrudnić, abyśmy mogli użyć go jako pytania do wywiadu dla potencjalnego asystenta technicznego. Stawiamy pytanie, ale teraz prosimy konkretnie o wysoki poziom rygoru w odpowiedzi.

Jeśli dziedziną jest matematyka, dobrą odpowiedzią może być coś podobnego do następujących. Rozwiązanie problemu obejmuje pochodną. Jednym ze sposobów definiowania pochodnej jest ograniczenie, a granice są z kolei definiowane za pomocą epsilonów i delt. Oto rygorystyczny dowód epsilon-delta, że ​​granica, o której mówimy, jest zbieżna.

Teraz załóżmy, że dziedziną jest fizyka. (Jestem fizykiem). Przykładem ładnej, rygorystycznej odpowiedzi może być taka, w której rozmówca wyjaśnił, dlaczego obserwowalne, o których mówimy, nie mogą być zbieżne z wyrażeniem bgt . Wystarczającym argumentem za brakiem zbieżności byłoby wskazanie, że pręt jest zbudowany z atomów, więc ruch masy po poziomej linii zaczyna wyglądać dyskretnie, gdy zejdziemy do określonej skali. (Jeszcze ładniejsza odpowiedź może skupiać się na efektach, które mogą być bardziej praktycznie obserwowalne. Na przykład, kiedy wspornik pręta zostaje zwolniony, zaburzenie przemieszcza się na zewnątrz przez wędkę z prędkością dźwięku, a nie natychmiast.)

Oba te podejścia są rygorystycznymi podejściami do wiedzy, ale są to różne pojęcia rygoru. Jeden podkreśla wewnętrzną spójność matematyki. Drugi kładzie nacisk na staranne rozważenie, jak modele matematyczne odnoszą się do rzeczywistości, co jest bardziej skomplikowane.

Być może biegasz w innych matematycznych kręgach niż ja, ale nie sądzę, żebym kiedykolwiek spotkał matematyka, który uznałby definicję pochodnej za przydatną część rygorystycznego rozwiązania opisywanego problemu. Rygor w fizyce matematycznej nie dotyczy epsilonów i delt dla nich samych; chodzi o mówienie bardzo jasno, co próbujesz obliczyć, i bardzo przekonujące argumentowanie, że to, co robisz, będzie to obliczać.
Jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś, zachęcałbym cię do sondowania wokół kilku fizyków matematycznych na temat tego, co uważają za „rygorystyczną” odpowiedź na postawiony przez ciebie problem. Na przykład byłbym ciekawy wyników.
@Vectornaut: Myślę, że nie rozumiesz. Nie chodzi o to, że rygorystyczne podstawy są nietrywialne dla praktyków z obu dziedzin. Są trywialne dla obu i dlatego zdecydowałem się dramatyzować historię, robiąc z niej rozmowę kwalifikacyjną na stanowisko asystenta - tak, abyśmy mieli motywację do poproszenia kogoś o rozważenie trywialnych fundamentalnych kwestii. Chodzi o to, że praktykujący dyscyplinę A, używając prawidłowego pojęcia rygoru dla A, mówi, że foo zbiega się do baru. Tymczasem osoba na polu B mówi, że foo nie zbiega się do baru. Oboje mają rację.
Ale w twojej historii osoba praktykująca matematykę * nie * używa poprawnego pojęcia rygoru dla matematyki. To właśnie próbuję powiedzieć: jeśli chcesz, aby twoja historia przekazywała ideę, którą ma przekazać, powinieneś ją przeredagować tak, aby osoba praktykująca każdą dyscyplinę używała prawidłowego pojęcia rygoru dla tej dyscypliny.
#6
+10
Vectornaut
2015-09-27 02:15:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

In theoretical physics, for various reasons, standards of mathematical rigor tend to be looser than they are in math. Individual physicists' preferences vary widely, however. In my experience, which seems to be echoed by Pete L. Clark's, many physicists tend to default to a looser standard of rigor while teaching, so your lecturers may or may not think about their course material at a much tighter level of rigor than the one they present it at.

You're definitely not alone in being frustrated by leaps of mathematical faith in physics lectures, and spending a great deal of time trying to fill them in. Here are some things I'd recommend doing to help deal with this, based on my own experience.

  • Do try talking to your teacher outside of class about mathematical gaps that confused you. You may find that your teacher knows exactly how to fill them in, and simply omitted the details from their presentation in class.

  • Do seek out other mathematically-minded people at your university, especially more experienced people, and talk to them about the things that confused you. As Pete L. Clark notes, many mathematically-minded physicists (and physicsy-spirited mathematicians!) have a private stash of rigorous insight into the less rigorous parts of a typical physics class, built up over years of experiences like yours. At some universities, the math department can be a gold mine of knowledge like this.

  • As a corollary, do write down your own work when you fill in the gaps yourself! Someday, the three weeks you spent proving that series converges might save someone else three weeks of trouble.

  • Do remember that not everything in physics has been formulated rigorously, and some topics are notoriously resistant to mathematical formalization. When you're confused by reasoning used in a physics class or the physics literature, it can be hard to tell whether you've encountered a small crack that can be paved over with a few hours of thought, an big gap that can be bridged using sophisticated techniques hidden in some corner of the math literature, or a gaping chasm that people have tried and failed to cross for decades. This is another reason talking to more experienced people can be helpful.

On the other hand, here are some things I'd recommend not doing.

  • Don't think of gaps in mathematical reasoning as mistakes, especially when you're talking to other people about them. This doesn't match the way most physicists approach mathematical reasoning, and it can turn your conversations unpleasantly confrontational.

  • If you've tried bringing your confusions to your teacher after class, and they've been consistently unable to help you, don't keep asking, especially if they seem annoyed by your problems. Your teacher may just prefer a looser standard of rigor than you, and there's nothing you can do about that. Seek out other sources of help instead.

  • Don't ask about leaps of reasoning during class. If your teacher doesn't know how to fill them in, nothing is gained. If your teacher does know how to fill them in, that means they've made a conscious decision not to, so they might prefer to talk to you outside of class.

  • Don't feel responsible for filling the mathematical gaps in your physics classes. In the comments here, people have said that "students can (and should) check that the claims made by their physics profs do indeed hold," and that "it's common to learn these concepts and their proofs rigorously in the math class." In my experience, those things just aren't true. You'll hit problems that you don't have the tools to resolve, and you'll hit problems that nobody has found the tools to resolve. Your confusion is not your fault.

  • Don't feel like your teachers are responsible for filling the gaps either. They're just doing physics as physics is generally done, and sometimes as it has to be done.

  • Don't spend too much time and energy trying to fill the gaps. Pancaking yourself against the far wall of the canyon a few times is okay, but at some point it's best just to walk away. You may come back later and discover that you've gained the tools and knowledge you need to get over, or that there's a bridge just a few miles away, or that getting over isn't likely to happen any time this century.

  • But, with that said, don't stop looking for more rigorous and less confusing ways to understand physics. Efforts to shore up the mathematical foundations of physics have proven very worthwhile in the past, and I firmly believe that they'll keep proving worthwhile in the future. They may feel thankless, but they're not worthless, and I think they're great things to read about and think about when you have the time and energy to spare.

I hope at least some of this advice is helpful for you. If you ever bring your mathematical physics troubles to Math.SE, I hope I'll see your question, and I hope I'll have the time and the knowledge to help answer it.

To świetna odpowiedź.
#7
-1
TheDoctor
2015-09-24 02:22:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ogólnie rzecz biorąc, lepiej ocenić siebie na tyle dobrze, aby publicznie wezwać wykładowcę, w przeciwnym razie istnieje wiele możliwości wprowadzenia poprawek prywatnie. To jest ogólnie rzecz biorąc bardziej poprawna politycznie ścieżka. Poza tym powinieneś wiedzieć, że decydując się na publiczne przemówienie, angażujesz się (świadomie lub nie) w bitwę o władzę. Taka walka może mieć pozytywne lub negatywne skutki.

A dokładniej, mam do was pytania: dlaczego wykładowca miałby udowadniać, że seria jest zbieżna? Co więcej, czy całki wielowymiarowe nie powinny zawsze mieć tę samą odpowiedź, niezależnie od ścieżki? W przeciwnym razie istnieje głębszy problem ze sformułowaniem wyrażenia (np. Uwzględnienie terminów z domeny, która tam nie należy).



To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 3.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...