W fizyce celowo nie udowadniamy zbieżności szeregów, ponieważ nie jesteśmy zainteresowani nauczaniem takich pojęć jak zbieżność. Kursy fizyki nie mają być matematycznie rygorystyczne. Po prostu nie jest to jeden z celów.

Pozwólcie, że po drugim poście dodam myśl, która stwierdza, że ​​nie jest to błąd pedagogiczny. Przyjmij to jako coś oczywistego: nie musisz „wzywać” profesora za to, że nie uczył „właściwie”. Jednak nadal jest tak, że osobiście chcesz głębiej zagłębić się w matematyczne podstawy tych pojęć i uznać, że jest to ważne dla twojego zrozumienia.

To świetnie! Możesz nauczyć się czegoś naprawdę interesującego i postawić się na ścieżce, aby stać się osobą, która robi postępy w nauce, atakując tego rodzaju pytania.

Teraz sugerowałbym skontaktowanie się z twoim profesorem z tego perspektywa, zamiast traktować ją jako problem z ich nauczaniem. Zapytaj, czy są książki lub inne zasoby, które profesor zasugerowałby, gdzie możesz dowiedzieć się więcej o dowodach stojących za tymi twierdzeniami. Jeśli profesor nie ma dla ciebie dobrych sugestii, spróbuj poszukać miejsc takich jak Physics.SE. Jeśli nie możesz znaleźć wystarczająco rygorystycznego dowodu, może to oznaczać, że go nie ma (mało prawdopodobne, ale zdarza się), a to może być interesująca okazja!

Powtarzając części innych odpowiedzi i niektóre komentarze: po pierwsze, niewłaściwe jest uznawanie pominięć, takich jak „dowód zbieżności”, za „błąd”. Po prostu nie ma absolutnego obowiązku sprawdzania, czy wszystkie części matematyki działają zgodnie z oczekiwaniami fizyka z innych powodów. Tak, ty lub ja i inni moglibyśmy chcieć zobaczyć dowód, to jest matematyczną przyczynowość, ale nie jest to po prostu obowiązkowe. (I odwrotnie, możemy udowodnić rzeczy bez bezpośrednich fizycznych przejawów lub fizycznego rozumowania ...)

W rzeczywistości „konwergencja” jest jedynie prostą formą tego, czego można by chcieć, i sama w sobie nie jest obowiązkowa (a tym bardziej dowód). Rzeczywiście, czytałem, że Poincare odkrył pod koniec XIX wieku, że szeregowe rozwinięcie rozwiązania równania różniczkowego stosowanego przez wiele dziesięcioleci (z powodzeniem) w mechanice niebieskiej nie zbiegło się. Nie żeby jego zbieżność była trudna do udowodnienia, ale że zdecydowanie się rozeszła. Ale / a ludzie otrzymywali prawidłowe wyniki liczbowe. Cóż, to była „ekspansja asymptotyczna”, ale / i takie rozszerzenia są pod pewnymi względami delikatniejsze (np. Różnicowanie terminowe) niż zbieżne szeregi potęgowe, a szczegóły matematyczne nie były wypełniane przez kilka dekad.

Innym przykładem jest PGM Książka Diraca o mechanice kwantowej, która wykorzystywała rozkłady i operatory nieograniczone w sposób nieuzasadniony przez 20 lat (w pracy L. Schwartza). Czytałem, że J. von Neumann i inni byli bardzo zaniepokojeni brakiem „rygoru”, a nawet jego pretekstem, który zmotywował ich do podjęcia takich prób ... Niemniej jednak predykcyjna i wyjaśniająca moc dzieła Diraca była niekwestionowany i byłoby śmiesznie odrzucić to, ponieważ nie mógł dostarczyć dowodów lub nie dbał o to.

Jak zauważono powyżej, rzeczywiście wydaje się, że matematyka trudna do uzasadnienia jest dość znośna, gdy quasi-magicznie przewiduje fizyczne szczegóły lub quasi-magicznie okazuje się być dokładnym narzędziem do prowadzenia ksiąg lub obliczeń dla obserwowalnych fizycznych zjawisk.

Tak, powinniśmy myśleć zupełnie inaczej, kiedy / jeśli dążymy do „odwrócenia” takiej matematyki do sytuacji czysto matematycznych, w których może nie być prawdziwego zjawiska fizycznego do zaobserwowania i przetestowania. Nie, nie mam takiej intuicji fizyki, która sugeruje (moim zdaniem) oburzające manipulacje matematyczne, więc sam zdecydowanie potrzebuję jednego lub obu zwięzłych przykładów i przekonujących (!) Dowodów, które zapewniają mnie, że istnieje pewna "przyczynowość" wykraczająca poza dosłowne namacalne świat. Ale w rzeczywistości historia sugeruje, że wiele interesującej matematyki wywodzi się z „oburzających” matematycznych wyczynów fizyków z wyobraźnią, więc takie rzeczy są dobrym źródłem!

I tak, czasami czysto matematyczne uzasadnienie oczywiście ... niezbędne sztuczki matematyczne w fizyce są znacznie bardziej wyrafinowane niż bezpośrednie fizyczne wyjaśnienie / motywacja / zjawisko. Jasne, czasami matematyka nie jest trudna i po prostu pomijana z powodu braku zainteresowania. Czasami matematyka jest głęboko trudna lub wręcz niemożliwa w danym roku ze względu na techniczne ograniczenia czasu. Ten fakt, który pojawiał się w kółko, jest moim zdaniem filozoficznie i naukowo prowokujący.

Więc tak, ja też byłem zaniepokojony czytaniem relacji fizyki, które (aby moja percepcja) szalone matematyczne rzeczy. Dawno temu myślałem, że to definitywna porażka, a rygor jest wymagany i możliwy. W tej chwili widzę, że te sytuacje są dużo bardziej skomplikowane, a oszacowanie konkretnego wystąpienia może być nieoczekiwanie nietrywialne!

Nie umniejszając zalet bardziej filozoficznych odpowiedzi, oto prostsza praktyczna sugestia:

• Idź do profesora po zajęciach lub w godzinach pracy recepcji.
• Powiedz mu, że ponieważ jesteś nieletnim matematykiem, uważasz matematyczne rozumowanie za ważne.
• Powiedz mu, że czasami nie możesz stwierdzić, czy krok, który robi, jest w rzeczywistości trywialny rygorystyczne uzasadnienie może zająć dużo czasu / wysiłku.
• Zapytaj go o to, gdy robi „skok matematyczny” (drugi rodzaj powyżej), mówi klasie konkretnie, że to robi. Na przykład „ten krok wymaga dowodu, ale jest to krok czysto matematyczny, w który nie będziemy się zagłębiać”.

Możesz oczywiście poprosić go o podręcznik bardziej rygorystyczny w matematyce.

Mam nadzieję, że PO nie urazi się zbytnio, jeśli powiem, że to pytanie wydaje się wskazywać na niedojrzałe zrozumienie znaczenia dyscypliny naukowej i relacji między różnymi dyscyplinami akademickimi. Dla ilustracji rozważmy następujący problem, który można wykorzystać jako pytanie egzaminacyjne na pierwszym roku z fizyki lub rachunku różniczkowego.

Jednolity pręt o masie na jednostkę długości b jest początkowo w pozycji stojącej i spoczynku w polu grawitacyjnym g . Przy t = 0 pręt zostaje zwolniony. W późniejszym czasie t znajdź tempo, w jakim masa przepływa przez poziomą powierzchnię przechodzącą przez pręt.

Ci z nas, którzy są fizykami lub matematykami, mogą łatwo znaleźć odpowiedź, czyli bgt.

Teraz przypuśćmy, że chcemy to nieco utrudnić, abyśmy mogli użyć go jako pytania do wywiadu dla potencjalnego asystenta technicznego. Stawiamy pytanie, ale teraz prosimy konkretnie o wysoki poziom rygoru w odpowiedzi.

Jeśli dziedziną jest matematyka, dobrą odpowiedzią może być coś podobnego do następujących. Rozwiązanie problemu obejmuje pochodną. Jednym ze sposobów definiowania pochodnej jest ograniczenie, a granice są z kolei definiowane za pomocą epsilonów i delt. Oto rygorystyczny dowód epsilon-delta, że ​​granica, o której mówimy, jest zbieżna.

Teraz załóżmy, że dziedziną jest fizyka. (Jestem fizykiem). Przykładem ładnej, rygorystycznej odpowiedzi może być taka, w której rozmówca wyjaśnił, dlaczego obserwowalne, o których mówimy, nie mogą być zbieżne z wyrażeniem bgt . Wystarczającym argumentem za brakiem zbieżności byłoby wskazanie, że pręt jest zbudowany z atomów, więc ruch masy po poziomej linii zaczyna wyglądać dyskretnie, gdy zejdziemy do określonej skali. (Jeszcze ładniejsza odpowiedź może skupiać się na efektach, które mogą być bardziej praktycznie obserwowalne. Na przykład, kiedy wspornik pręta zostaje zwolniony, zaburzenie przemieszcza się na zewnątrz przez wędkę z prędkością dźwięku, a nie natychmiast.)

Oba te podejścia są rygorystycznymi podejściami do wiedzy, ale są to różne pojęcia rygoru. Jeden podkreśla wewnętrzną spójność matematyki. Drugi kładzie nacisk na staranne rozważenie, jak modele matematyczne odnoszą się do rzeczywistości, co jest bardziej skomplikowane.

In theoretical physics, for various reasons, standards of mathematical rigor tend to be looser than they are in math. Individual physicists' preferences vary widely, however. In my experience, which seems to be echoed by Pete L. Clark's, many physicists tend to default to a looser standard of rigor while teaching, so your lecturers may or may not think about their course material at a much tighter level of rigor than the one they present it at.

You're definitely not alone in being frustrated by leaps of mathematical faith in physics lectures, and spending a great deal of time trying to fill them in. Here are some things I'd recommend doing to help deal with this, based on my own experience.

• Do try talking to your teacher outside of class about mathematical gaps that confused you. You may find that your teacher knows exactly how to fill them in, and simply omitted the details from their presentation in class.

• Do seek out other mathematically-minded people at your university, especially more experienced people, and talk to them about the things that confused you. As Pete L. Clark notes, many mathematically-minded physicists (and physicsy-spirited mathematicians!) have a private stash of rigorous insight into the less rigorous parts of a typical physics class, built up over years of experiences like yours. At some universities, the math department can be a gold mine of knowledge like this.

• As a corollary, do write down your own work when you fill in the gaps yourself! Someday, the three weeks you spent proving that series converges might save someone else three weeks of trouble.

• Do remember that not everything in physics has been formulated rigorously, and some topics are notoriously resistant to mathematical formalization. When you're confused by reasoning used in a physics class or the physics literature, it can be hard to tell whether you've encountered a small crack that can be paved over with a few hours of thought, an big gap that can be bridged using sophisticated techniques hidden in some corner of the math literature, or a gaping chasm that people have tried and failed to cross for decades. This is another reason talking to more experienced people can be helpful.

On the other hand, here are some things I'd recommend not doing.

• Don't think of gaps in mathematical reasoning as mistakes, especially when you're talking to other people about them. This doesn't match the way most physicists approach mathematical reasoning, and it can turn your conversations unpleasantly confrontational.

• If you've tried bringing your confusions to your teacher after class, and they've been consistently unable to help you, don't keep asking, especially if they seem annoyed by your problems. Your teacher may just prefer a looser standard of rigor than you, and there's nothing you can do about that. Seek out other sources of help instead.

• Don't ask about leaps of reasoning during class. If your teacher doesn't know how to fill them in, nothing is gained. If your teacher does know how to fill them in, that means they've made a conscious decision not to, so they might prefer to talk to you outside of class.

• Don't feel responsible for filling the mathematical gaps in your physics classes. In the comments here, people have said that "students can (and should) check that the claims made by their physics profs do indeed hold," and that "it's common to learn these concepts and their proofs rigorously in the math class." In my experience, those things just aren't true. You'll hit problems that you don't have the tools to resolve, and you'll hit problems that nobody has found the tools to resolve. Your confusion is not your fault.

• Don't feel like your teachers are responsible for filling the gaps either. They're just doing physics as physics is generally done, and sometimes as it has to be done.

• Don't spend too much time and energy trying to fill the gaps. Pancaking yourself against the far wall of the canyon a few times is okay, but at some point it's best just to walk away. You may come back later and discover that you've gained the tools and knowledge you need to get over, or that there's a bridge just a few miles away, or that getting over isn't likely to happen any time this century.

• But, with that said, don't stop looking for more rigorous and less confusing ways to understand physics. Efforts to shore up the mathematical foundations of physics have proven very worthwhile in the past, and I firmly believe that they'll keep proving worthwhile in the future. They may feel thankless, but they're not worthless, and I think they're great things to read about and think about when you have the time and energy to spare.

I hope at least some of this advice is helpful for you. If you ever bring your mathematical physics troubles to Math.SE, I hope I'll see your question, and I hope I'll have the time and the knowledge to help answer it.

Ogólnie rzecz biorąc, lepiej ocenić siebie na tyle dobrze, aby publicznie wezwać wykładowcę, w przeciwnym razie istnieje wiele możliwości wprowadzenia poprawek prywatnie. To jest ogólnie rzecz biorąc bardziej poprawna politycznie ścieżka. Poza tym powinieneś wiedzieć, że decydując się na publiczne przemówienie, angażujesz się (świadomie lub nie) w bitwę o władzę. Taka walka może mieć pozytywne lub negatywne skutki.

A dokładniej, mam do was pytania: dlaczego wykładowca miałby udowadniać, że seria jest zbieżna? Co więcej, czy całki wielowymiarowe nie powinny zawsze mieć tę samą odpowiedź, niezależnie od ścieżki? W przeciwnym razie istnieje głębszy problem ze sformułowaniem wyrażenia (np. Uwzględnienie terminów z domeny, która tam nie należy).