Sam napisałem nieudaną rozprawę. Nie wynikły z tego żadne dokumenty. Na szczęście miałem znaczący projekt poboczny, który został opublikowany i 11 lat później główny wątek moich badań nadal pochodzi z tego pobocznego projektu. (Przypuszczam, że zamiast tego mógłbym napisać poboczny projekt jako moją rozprawę, ale tego nie zrobiłem).

Po pierwsze, żaden projekt nigdy nie kończy się całkowitą porażką. Przynajmniej udaje ci się udowodnić niektóre (być może prawie trywialne) przypadki specjalne, udowadniasz kilka pomocnych lematów, stwierdzasz, że niektóre lematy, które mogłeś mieć nadzieję, będą pomocne, mają kontrprzykłady i znajdujesz pewne metody, których możesz użyć don ' t zastosowanie, ponieważ niektóre hipotezy potrzebne do zastosowania tych metod nie są spełnione w twoim przypadku. Możliwe jest spisanie wszystkich tych rzeczy, kończąc na rozprawie, która zasadniczo dotyczy „Jak nie rozwiązać problemu X (z wyjątkiem tego bardzo małego, specjalnego przypadku)”. (To jest w zasadzie moja rozprawa.)

Po drugie, rzadko zdarza się, aby absolwenci matematyki, szczególnie na najlepszych programach, pracowali tylko nad jednym problemem. Twój doradca może zasugerować główny problem, nad którym możesz popracować, ale chodzisz na seminaria i słyszysz o innych problemach, rozmawiasz z innymi studentami lub doktorantami i poznajesz inne problemy itd., A absolwenci są generalnie zachęcani do wydawania poświęć trochę czasu na myślenie o innych problemach. Jeśli utkniesz przy swoim głównym problemie, nadal masz inne problemy do rozwiązania i dość często zdarza się, że to, czego nauczyłeś się, aby pracować nad głównym problemem, ostatecznie pomaga ci w rozwiązaniu innych problemów. (W zasadzie to właśnie mi się przydarzyło, z wyjątkiem tego, że ten inny problem nie znalazł się w mojej rozprawie).

Po trzecie, zwłaszcza na wczesnych etapach pracy nad problemem, doradcy zazwyczaj dość szybko szarpią się, jeśli wygląda na to, że nie ma żadnych postępów. Większość doradców wie o wielu problemach i wiedzą, jak wygląda całkowity brak postępów z powodu zbyt trudnego problemu. Nawet później doradcy mogą czasami sugerować prostsze problemy, które można rozwiązać w krótszym czasie (biorąc pod uwagę to, czego uczeń już się nauczył). W niektórych przypadkach, po kilku rundach nieudanych zadań, student kończy pracę doktorską, która jest mniej więcej tak ciężka, jak przyzwoity projekt badawczy na poziomie licencjackim (i kończy się zerową pracą lub jedną pracą w czasopiśmie „tylko do pisania”).

Prawdą jest, że rozprawa napisana z nieudanego lub prawie trywialnego projektu zwykle nie wróży dobrze w aplikacjach na stanowiska, w których badania mają znaczenie (chyba że istnieje bardziej istotny projekt poboczny). Czasami wpływowy lub przekonujący doradca może przedstawić wystarczająco mocne argumenty w listach polecających, aby student uzyskał stopień doktora, ale jest to trudniejsze teraz niż 10 lat temu, biorąc pod uwagę, o ile bardziej konkurencyjny jest rynek pracy.

Dobry doradca odciągnie uczniów od problemów typu „wszystko albo nic”, czyli takich, w których całkowita porażka jest realną możliwością. Na przykład jeden stereotypowy przypadek to elementarna próba rozwiązania słynnego pytania z teorii liczb, gdzie najbardziej prawdopodobnym wynikiem jest konkretne zrozumienie, dlaczego to konkretne podejście po prostu nie może działać, a nikt inny nie będzie strasznie zainteresowany, ponieważ nigdy nie myśleli przede wszystkim miał szansę.

Dobry problem z pracą dyplomową musi mieć kilka właściwości:

1. Powinien być interesujący i przyciągający uwagę, jeśli zostanie rozwiązany. Jest to łatwa do osiągnięcia właściwość.

2. Powinien znajdować się na wystarczająco bogatym i różnorodnym obszarze, aby każda poważna próba rozwiązania tego problemu odkryła coś wartościowego samego w sobie, nawet jeśli nie prowadzi do rozwiązania pierwotnego problemu.

3. Powinien pomóc uczniowi w zdobyciu wiedzy i przygotowaniu się do rozgałęzienia w kilku nowych kierunkach. (To znaczy, nie powinieneś osiągać stanu, w którym nie masz nic więcej do zrobienia, a kontynuacja pracy powinna naturalnie rosnąć szerzej niż węższa). 1 jest sam w sobie niewystarczający. Jeśli masz również numer 2, to nie ma znaczenia, czy pierwotny problem został rozwiązany, podczas gdy numer 3 jest ważny dla przygotowania ucznia do sukcesu po ukończeniu szkoły wyższej.

   Zatem optymistyczną odpowiedzią na twoje pytanie jest to, że doradca powinien zadbać o to, aby nie stało się to problemem, kierując ucznia do problemu, w którym niepowodzenie w jego rozwiązaniu nie jest katastrofą. Oczywiście jest też scenariusz pesymistyczny, w którym doradca schrzanił sprawę lub student nie chciałby skorzystać z porady, a problem naprawdę nie nadaje się do pracy magisterskiej. W takim przypadku musisz jak najlepiej sobie poradzić, prawdopodobnie pisząc nieoptymalną tezę, a następnie próbując nadrobić to inną pracą. Na szczęście ten scenariusz nie zdarza się często. (A w najgorszym przypadku uczeń po prostu niczego nie osiąga, ale może się to zdarzyć w każdej dziedzinie).

Istnieje wiele pomyślnych wyników, które nie obejmują znalezienia pożądanego dowodu. Oto kilka przykładów:

1. Bardzo często dobre pytanie matematyczne jest dobre nie tylko dlatego, że odpowiedź byłaby użyteczna, ale dlatego, że techniki, które mogą prowadzić do odpowiedzi, są przydatne. Jeśli opracujesz nowe narzędzia matematyczne, mogą one same w sobie stanowić wartościową tezę, nawet jeśli nie stanowią dowodu.
2. Możesz osiągnąć jakiś pośredni wynik, który otworzy nową możliwość udowodnienia większego wyniku. Rzeczywiście, wiele tez ma na celu tylko to, jeśli większy wynik jest czymś wielkim, jak hipoteza Riemanna, hipoteza BSD itp.
3. Szukając dowodu na X, możesz odkryć powiązane pytanie Y i znaleźć dowód, który rozwiązuje Y. Y może być bardziej interesujący niż X lub po prostu bardziej przystępny. Jest to omówione w znanym krótkim artykule Uri Alona na temat wyboru problemu; Polecam ten artykuł każdemu, kto zadaje to pytanie.

Dobry doradca pomoże Ci znaleźć temat pracy magisterskiej, który ma wiele ścieżek i wiele etapów potencjalnego postępu, tak aby nie był przedsięwzięcie typu wszystko albo nic.

Moja profesor od statystyk w zeszłym semestrze powiedziała, że ​​jest zasmucona faktem, że w czasopismach nie publikuje się już nieudanych badań / teorii. Nieudana teoria to po prostu to, że pokazuje, że miałeś teorię, ale udowodniłeś, że się mylisz! To niesamowita ilość informacji i jeśli połączysz je z wieloma innymi badaniami, które pokazują to samo, masz coraz więcej dowodów na to, że teoria jest błędna. Na przykład, jeśli publikujemy tylko teorie / badania, które odniosły sukces, w pewnym sensie zniekształcamy nasze wyniki, ponieważ mogło być 50 badań, które wykazały, że nie ma dowodów na to, że teoria jest prawdziwa, ale jeśli było jedno badanie, kto ledwo udało mi się przekroczyć próg udowodnienia prawdziwości teorii, że można by było opublikować, a teraz boom, jedyną opublikowaną informacją o tej teorii jest ta, która „udowadnia jej prawdziwość”. Nie jestem też magistrem matematyki, ale pomyślałem, że to wystarczająco interesujący temat, aby się z tobą podzielić. Wynik niejednoznacznego eksperymentu wciąż zawiera bardzo dużą ilość danych, które mogą być bardzo ważne dla kogoś innego po latach.

Czy można założyć, że praca polega na próbie udowodnienia czegoś? Co się stanie, jeśli nie możesz?

Nie. Nie wszystkie tezy dotyczą „udowadniania rzeczy”, przynajmniej nie w wąskim sensie. Teza może być bardzo obliczeniowa, może dotyczyć formułowania przypuszczeń lub może dotyczyć znalezienia przykładów / kontrprzykładów pewnych zjawisk. Wiele tez (i artykułów), nawet jeśli dowodzą twierdzenia, sprowadza się do zrozumienia jakiejś teorii i wykonania pewnych (niekoniecznie numerycznych) obliczeń.

Jak mówi Alexander Woo, nawet jeśli nie możesz udowodnić czego do którego się zdecydowałeś, zazwyczaj możesz znaleźć coś nowego (czasami tylko nowy punkt widzenia), jeśli jesteś wystarczająco kompetentny i poświęcasz temu wystarczająco dużo czasu. W rzeczywistości jest to bardziej powszechne niż nie, nawet w przypadku profesjonalnych badaczy, że nie udowadnia się tego, do czego się dążył. Nie udowodniłem tego, czego próbowałem w mojej pracy magisterskiej, ale uzyskałem z tego kilka wyników i kilka artykułów. Dla większości ludzi kilka lat to mnóstwo czasu.

Ale jeśli masz X lat na udowodnienie czegoś, powiedzmy, doktorat, a nie możesz, co się dzieje? Po prostu nie robisz doktoratu?

Jak powiedziałem, jest duża szansa, że ​​przynajmniej zdobędziesz coś nowego lub możesz przejść do innego projektu, gdy wydaje się to beznadziejne. Miejmy nadzieję, że Twój doradca pomoże Ci poprowadzić Cię i uchronić Cię przed zbyt długim śledzeniem ślepych uliczek. Staram się tworzyć projekty dla moich uczniów w obszarach, w których jest wiele pobliskich problemów, więc jeśli ich projekt się nie powiedzie, nie muszą się zbytnio uczyć, aby spróbować innego problemu. Kiedy twój doradca uważa, że ​​masz wystarczająco dużo na doktorat, możesz złożyć pracę, ale oczywiście nie otrzymasz doktoratu tylko dlatego, że pracowałeś nad czymś przez X lat.

Nie mam twardych danych na ten temat, ale z mojego doświadczenia wynika, że ​​większość doktorantów, którzy przeżyli pierwsze lata (powiedzmy w dobrych szkołach w USA), zdobywa tytuł doktora. Tam, gdzie ja poszedłem, prawie każdy, kto zaczynał, miał doktorat - i prawie wszyscy, którzy nie wyjechali w trakcie lub po pierwszym roku, ponieważ zdali sobie sprawę, że doktorat nie jest dla nich. W mniej prestiżowych szkołach wskaźniki sukcesu nie są tak dobre, ale nadal uważam, że większość ludzi, którzy nie kończą doktoratu, rzuciła studia, zanim poświęcą dużo czasu na badania.

Jeden przypadek:

Miałem na myśli interesujący problem. Pomyślałem o absolutnie najprostszym przypadku i przekazałem go uczniowi do pracy. Potem pomyślałem, że możemy wypróbować bardziej ogólne przypadki, stopniowo przechodząc do całości. Okazało się, że ukończenie pierwszego przypadku specjalnego zajęło studentowi dwa lata, więc taka była teza. (O ile wiem, bardziej ogólny problem nie został rozwiązany do dnia dzisiejszego.)

Nie zawsze próbujesz udowodnić istniejące twierdzenie. Z mojego doświadczenia wynika, że ​​centralne twierdzenia tezy nie są początkowo znane. Zajmujesz się trudnym problemem i próbujesz znaleźć nowe wyniki - w moim przypadku chodziło o analizę sytuacji, w której istniały wyniki częściowe, ale nie znaleziono rozsądnych szacunków dla niektórych stałych. Moim głównym wynikiem było twierdzenie charakteryzujące sytuacje, w których można znaleźć optymalne stałe, a także sposób ich obliczania.

Na początku miałem ten sam problem z „brakiem wyników” - w końcu musiałem wybrać nowy temat po 2 latach. Jednak po drodze wciąż były pewne wyniki. Nawet jeśli główny dowód nie zadziała, jest mało prawdopodobne, że nie uzyskasz nawet częściowych wyników lub odkryjesz po drodze czegoś nowego.

Nadal byłem w stanie wypełnić około 30 stron mojej pracy dyplomowej wynikami Miałem od pierwszego tematu. Samo to nie wystarczyłoby na doktorat, ale to też nie było nic. Pomogło to, że tematy były podobne i można było narysować kilka podobieństw.